5.5.1 两角和与差的正弦、正切（一）教学设计- 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版必修一5.5.1两角和与差的正弦、正切（一）教学设计教学目标：1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程，运用公式进行化简、求值2.理解并掌握变为一个角的三角函数形式的方法3.了解和角公式在旋转变换中的应用重点：两角和与差的正弦公式的正向、逆向应用难点：利用两角和与差的正弦、余弦公式变为一个角的三角函数形式一.复习回顾上节课我们利用单位圆和向量数量积的两种计算方法得到了两角差的余弦公式将改写成，再结合诱导公式，得到两角和的余弦公式这两个公式的作用，就是可以用角和角的正余弦表示或角的余弦。同学们很容易就会产生猜想，可以用角和角的正余弦表示或角的正弦吗？二.问题引入如何求的值？解1：用和的正余弦值表示了解2：受此启发，我们推导一般情况。我们转化两角差的正弦可以写成或者以后者为例三.两角和与差的正弦公式：可以用角和角的正余弦表示角或角的正弦值对比余弦两角和与差的公式，右侧是同名的三角函数相乘，运算符号与左侧相反，函数名为余余正正，角的顺序为发现正弦两角和与差公式的规律：右侧是不同名的三角函数相乘，运算符号与左侧一致，函数名为正余余正，角的顺序为例1.已知，，且都是第二象限角，求和的值.解：因为，且是第二象限角，所以，又因为，且是第二象限角，所以例2.化简求值（1）解：原式（2）解：原式=另解：原式观察角的关系，转化成两角和与差的正弦公式或余弦公式的逆运算例3.求函数的最大值，及取得最大值时的值分析：当且时，取最大值此时要求且不可能同时成立，所以的最大值不是那的最大值是多少呢？解：当时，取最大值1四.辅助角公式当都是不为零的常数时，为了求的值域、最值、周期等关键是要将函数化成的形式。也就是找到合适的和，使得①恒成立。如果①式恒成立，则即所以，所以,因为所以即得到，取则有,②满足这样条件的角存在吗？由任意角的正弦、余弦的定义可知，在平面直角坐标系中，设点的坐标为，是以射线为终边的角，则因此满足条件②，角的象限与点的象限一致。所以满足①式的和一定存在。其中，称为辅助角，公式为辅助角公式。小结：辅助角公式使用步骤（1）提取，即（2）按照在前在后的顺序整理（3）看前面的数是哪个锐角的正弦值，得到角化简为其中,，练习2.（1）求函数的单增区间（2）求函数的最值和单增区间解：（1）所以的单调增区间为（2），即时，取最小值；，即时，取最大值.所以的单调增区间为有能力的同学还可以化简成另一种形式：（2），即时，取最小值；，即时，取最大值.所以的单调增区间为利用辅助角公式可以将（都是不为零的常数）函数化简为正弦型函数或余弦型函数，再借助复合函数的图像和性质解决函数的单调区间、对称轴方程、对称中心、最值等问题。五.旋转公式例4.已知向量，如图所示，将向量绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，求点的坐标。解：设，因为，所以，，所以，点的坐标为问题：如果向量绕原点沿顺时针方向旋转到的位置呢？答：，之前我们已经学习了图形变换的三种形式：平移变换、对称变换、伸缩变换，今天我们介绍第四种旋转变换。感兴趣的同学可以研究一下教材第95页练习B第2题，得到向量旋转坐标公式：四种常见的图形变换在今后学习解析几何、复数运算中会有进一步的应用。六.本节小结1.两角和与差的正弦公式对比余弦两角和与差的公式