2015年全国高中数学联赛安徽省初赛Word版含

全国高中数学联赛安徽省初赛试卷题号9101112总分得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．请用钢笔、署名笔或圆珠笔作答；3．书写不要超出装订线；4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1.函数f(x)x1x3ex，xR的最小值是．2.，xn11，n2．数列{}的通项公式是xn．设x11xn2xn14xn3.设平面向量,知足1||,||,||3，则?的取值范围是．4.设f(x)是定义域为R的拥有周期2的奇函数，而且f(3)f(4)0，则f(x)在[0,10]中起码有个零点．5.设a为实数，且对于x的方程(acosx)(asinx)1有实根，则a的取值范围是.6.给定定点P(0,1)，动点Q知足线段PQ的垂直均分线与抛物线yx2相切，则Q的轨迹方程是．7.设zxyi为复数，此中x,y是实数，i是虚数单位，其知足z的虚部和zi的实1z部均非负，则知足条件的复平面上的点集(x,y)所组成地区的面积是．设n是正整数．把男女乒乓球选手各3n人配成男双、女双、混双各n对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9.设正实数a,b知足ab1．求证：a21b213．ab在如下图的多面体ABCDEF中，已知AD,BE,CF都与平面ABC垂直．设ADa，BEb，CFc，ABACBC1．求四周体ABCE与BDEF公共部分的体积（用a,b,c表示）．设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了起码6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中起码有5道同样．试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1.当x3时，f(x)2x4ex,f(x)2ex0,所以f(x)单一减；当3x1时，f(x)2ex,f(x)ex0，此时f(x)亦单一减；当x1时，f(x)2x4ex，f(x)2ex.令f(x)0得xln2.所以f(x)在xln2处获得最小值6-2ln2．2.设uacosx，vasinx．方程有实根双曲线uv1与圆(ua)2(va)21有公共交点.注意到圆的圆心位于直线yx之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的地点即可.易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为12/2或12/2.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为12/2或12/2.所以，a的取值范围为a12,1212,12．2222xn112xn11xn13xn113n23.由xn13．和2xn12，可得122xn1122xn142xn142xn故xn2n23n2n22n2．234.?122219917．?1229．22244以上等号均可取到．故?的取值范围是17,9．245.由题设可知

f(

x)

f

(

x)

f(

x)。令

x=0

得f(

)

0。另一方面，f

(2

4)f(

4)

f

(4)

0.近似地，

f(2

-3)

0所以，

f(x)

在[0,10]中的零点必定包括

0,2π

4,3,π,2π

3,4,2π,4π

4,2π

3,3π,4π

3这

11个零点．设PQ的垂直均分线l与抛物线yx2相切于(t,t2)，切向为(1,2t).则l的方程为y2t(xt)t2．设Q(x,y)，由PQ与l垂直且PQ中点在l上，可得x2t(y1)0①21(y1)txt2．②x，代入②得Q的轨迹方程为由①解得t22y(2y1)x22(y1)(y1)20，y1,1．27.ReziRex(y1)ix(1x)(y1)y0等价于1z1xyi(1x)2y2(x12(y121.又因为y0，故知足条件的点集组成了圆的一部分，2)2)2计算得其面积为32．8从3n名男选手中选用2n人作为男双选手有C32nn种选法，把他们配成n对男双选手有(2n)!种配对方式。女选手近似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!2nn!n!2(3n)!种配对方式。所以，配对方式总数是C3n2nC2nnn!．2n(n!)322n二、解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）证明：对随意a(0,1)，由均值不等式有4a124a14.----------------------------------（5分）aa所以，a21a24a4a1a24a42a．------------（15分）aa同理，对于随意b(0,1)，b212b.b所以，a21b212a2b3．---------------------（20分）ab10.设AEBDG，BFCEH，则四周体BEGH是ABCE与BDEF的公共部分．-----------------------------------------------------（5分）易计算得：G到直线AB的距离d1ab，---------------------------------（10分）abG到平面BCFE的距离d23d1，------------------------------------------（15分）2aH到直线BC的距离d3bc，SBEHbd3．----------------（20分）b2c所以，VBEGHSBEHd23b3．---------------------（22分）312(ab)(bc)11.不如设ABCD是凸四边形，其面积为S．记aAB，bBC，cCD，dDA。由S1absinB1cdsinD，22，AC2a2b22abcosBc2d22cdcosD可得2SabsinBcdsinD，cdcosD，（8分）(a2b2c2d2)/2abcosB--------------两遍平方和得4S2(ab)2(cd)22abcdcos(BD)1(a2b2c2d2)24(abcd)21(a2b2c2d2)241(bcda)(acdb)(abdc)(abcd)．4等号建立当且仅当BD，即A,B,C,D四点共圆--------------------（16分）现依据假定a,b,c,d为四个连续整数nn1,n2,n3(n1).由此,(1)(n2)(n3).明显n23nSn23n1.所以，S不是Snn整数。----------------------------------------------------（22分）12.证明：设S是全部试题的会合，Si是第i位学生解出的试题的会合，TiSSi．题目即证存在ij使得SiSj5．-------------------