2022年广东省广州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考数学一模二模试题分类汇编4.6解直角三角形及其应用

2022年广东省广州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考数学一模二模试题分类汇编特殊角的三角函数值13．（2022·佛山顺德区一模）比较大小：sin60°＞tan30°（用“＞”或“＜”填空）．3．（2022·深圳龙岗区一模）Rt△ABC中∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴∠A＝30°，∴tan30°＝．解直角三角形16．（2022·惠州市一模）如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，利用面积法可求出CE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出BE的长，再结合正切的定义可求出tan∠ABC的值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．∵S△ABC＝AC•3＝AB•CE，即×2×3＝×3•CE，∴CE＝．在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，∴BE＝＝2，∴tan∠ABC＝＝．8．（2022·惠州惠阳区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4 D．28．（2022·珠海市一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A． B． C． D．9．（2022·广州白云区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，作等腰三角形ABD，使AB＝AD，∠BAD＝∠BAC，且点C不在射线AD上，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BDE的值为（）A． B． C． D．【分析】先在Rt△BCA中求出AB，再利用“AAS”说明△ADE≌△ABC，求出BE、BD的长，最后在Rt△BDE中求出∠BDE的正弦．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10．在△ADE和△ABC中∵AB＝AD＝10，∠BAD＝∠BAC，∠DEA＝∠C＝90°，∴△ADE≌△ABC（AAS），∴AC＝AE＝6，BC＝DE＝8．∴BE＝AB﹣AE＝4．∴BD＝＝4．∴sin∠BDE＝＝＝．故选：C．7．（2022·广州从化区一摸）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A正切值是（）A． B． C．2 D．【分析】取格点D，E，连接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得线段AD、AB的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：取格点D，E，连接BD，如图，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，9．（2022·华南师大附中一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理求出AC，再根据旋转的性质得出AB＝A′B＝5，从而求出A′C，然后在Rt△ACA′中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，∴AC＝＝＝3，由旋转得：AB＝A′B＝5，∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，∵∠ACB＝90°，∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，在Rt△ACA′中，tan∠A′AC＝＝，7．（2022•广州增城区一模）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（）A．5m B．6m C．6.5m D．12m【分析】根据正弦的定义列式计算，得到答案．【解答】解：设小车上升的高度是xm，∵sinα＝，∴＝，解得，x＝5，9．（2022·深圳光明区二模）在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过点C作CE∥AB，则∠AOD＝∠DCE，过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，由图可得：CD＝＝，CE＝＝，＝4，∵，即4＝，∴EF＝，在Rt△CEF中，sin∠DCE＝＝＝，∴sin∠AOD＝．13．（2022·深圳福田区二模）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tanB的值为．【解答】解：如图，连接格点A、D．在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝4，∴tanB＝；9．（2022·深圳龙岗区二模）如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE的距离是（）cm（结果保留根号）A． B． C． D．【解答】解：过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，∵CG∥EH，∴∠GCD＝∠CDE＝60°，∴∠ACG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，在Rt△ACG中，AC＝10（cm），sin∠ACG＝＝＝，∴AG＝5（cm），在Rt△CDF中，CD＝16cm，∠CDE＝60°，∴CF＝CD•sin60°＝8m，∴GH＝CF＝8cm，∴AH＝（5+8）cm．15．（2022·深圳龙岗区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝．【解答】解：延长EF交BC于H，如图：∵AB＝AC，D是BC边的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF∥AD，∴EH⊥BC，＝，∵CE＝2AE，∴CH＝2DH，设DH＝x，则CH＝2x，∴CD＝BD＝3x，∴BH＝BD+DH＝4x，设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，∴（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，由①②联立方程组，解得x＝a，y＝3a，∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，∴tan∠CBE＝＝＝，6．（2022·深圳罗湖区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinB的值是（）A． B． C． D．13．（2022·深圳坪山区二模）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，根据作图痕迹，若CA＝3cm，tanB＝，则DE＝cm．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，∴tanB＝＝，∴CB＝4（cm），∴AB＝＝＝5（cm），∵DE垂直平分线段AB，∴BE＝AE＝（cm），∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，∴△CED∽△BCA，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），12．（2022·深圳坪山区一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB的值是．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴sinB＝＝，解直角三角形的应用22．（2022·佛山禅城区二模）春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为60°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．（1）求点B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD长保留一位小数，参考数据≈1.732）【分析】（1）由坡度的概念求出BF即可；（2）由勾股定理求出AF，再由锐角三角函数定义求出DE和CG，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD约为13.4m．15．（2022·珠海香洲区一模）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为11米．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8米，∠ADE＝52°，BE＝CD＝1米，在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24（米），∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）9．（2022·惠州惠城区一模）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+）米 C．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+）米【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE＝150米，∴CE＝AD＝1.5米，在△ABE中，∵tanα＝＝，∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（米），15．（2022·惠州惠阳区二模）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米．（结果保留根号）20．（2022·惠州惠阳区一摸）在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度．【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，设FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵ME＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：体温监测有效识别区域AB的长为4米．21．（2022·广州海珠区一模）某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i＝1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．（1）斜面AD的坡度i＝1：1；（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．【分析】（1）根据题意可得∠AED＝90°，∠ADE＝45°，然后在在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，从而表示出DF，BF的长，再利用斜面BD的坡度i＝1：2，列出关于x的方程，进行计算即可求出x的值，然后分别在Rt△BDF和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD，BD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AED＝90°，∠ADE＝45°，在Rt△ADE中，tan45°＝＝1，∴斜面AD的坡度i＝1：1，（2）由（1）得：AE＝DE，设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，∵AC＝300米，BC＝500米，∴EC＝AC﹣AE＝（300﹣x）米，BF＝BC﹣CF＝（500﹣x）米，∴DF＝EC＝（300﹣x）米，∵斜面BD的坡度i＝1：2，∴＝，∴BF＝2DF，∴500﹣x＝2（300﹣x），解得：x＝100，∴BF＝400米，DF＝200米，AE＝DE＝100米，在Rt△BDF中，BD＝＝＝200（米），在Rt△ADE中，AD＝＝＝100（米），∴AD+BD＝（100+200）米，∴电线AD+BD的长度为（100+200）米．6．（2022·广州花都区二模）如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（）A．50米 B．50米 C．50米 D．100米21．（2022广州花都区一模）学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．（结果保留小数点后一位．≈1.414，≈1.732）【分析】延长BC，交过点A的水平线于点E，根据题意可得BE⊥AE，AD＝BE＝30米，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长BC，交过点A的水平线于点E，则BE⊥AE，AD＝BE＝30米，在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，∴AE＝＝＝10（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，∴EC＝AE•tan45°＝10（米），∴BC＝BE﹣EC＝30﹣10≈12.7（米），∴大树BC的高约为12.7米．15．（2022·广州南山区一模）如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是24米．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）【解答】解：如图：延长DC，交过点A的水平线于点E，则BD＝AE＝600米，在Rt△AED中，∠EAD＝45°，∴DE＝AE•tan45°＝600×1＝600（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，∴EC＝AE•tan44°≈600×0.96＝576（米），∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），∴木棉树的高度CD是24米，13．（2022·深圳宝安区二模）“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心O处的仰角为30°，看地面A处的俯角为45°（如图所示，OA垂直于地面），若摩天轮的半径为54米，则此时小亮到地面的距离BC为27米．（结果保留根号）【分析】过点B作BD⊥OA，垂足为D，根据题意可得AD＝BC，然后在Rt△DOB中，利用锐角三角函数的定义求出DO，DB的长，最后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出BC的长，即可解答．【解答】解：过点B作BD⊥OA，垂足为D，则AD＝BC，在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴AD＝DB•tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，∴小亮到地面的距离BC为27米，18．（2022·深圳龙岗区一模）如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．（1）求∠C的度数；（2）求B处船与小岛C的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC与点E．由题意得，∠ABC＝105°，∠CAB＝45°，∴∠C＝180°﹣105°﹣45°＝30°；（2）由题意得，AB＝40×＝20（海里），在Rt△ABE中，BE＝AB•sin45°＝10（海里），在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，∴BC＝2BE＝20（海里），答：B处船与小岛C的距离为20海里．13．（2022·深圳龙华区二模）如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为6.4cm．[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝32.7°，BC＝10cm，∴AC＝BC•tan32.7°≈10×0.64＝6.4（cm），∴肿瘤在皮下的深度AC约为6.4cm，12．（2022·深圳南山区二模）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为8米．【分析】根据坡度定义直接解答即可．【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4米，∴BC＝4×2＝8（米），8．（2022·深圳坪山区二模）如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（）A．80m B．85m C．90m D．95m【解答】解：过点C作CH⊥DN