2019学年湘教版数学选学22分层训练621直接证明分析法与综合法含解析

6．2直接证明与间接证明6．2.1直接证明：分析法与综合法一、基础达标1．已知a，b，c∈R，那么以下命题中正确的选项是()A．若a>b，则ac2>bc2abB．若c>c，则a>b3311C．若a>b且ab<0，则a>b2211D．若a>b且ab>0，则a<b答案C分析对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B33a>011a<0错；对于C：若a>b且ab<0，则b<0，所以a>b，故C对；对于D：若b<0，则不成立．2．A、B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的()．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．即不充分也不用要条件答案

C分析

ab由正弦定理sinA＝sinB，又A、B为三角形的内角，∴

sinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出以下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.此中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B分析若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能订交，②不正确；若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有()a2＋b2B．ab<1<a2＋b2A．1≤ab≤22a2＋b2<1a2＋b2<ab<1C．ab<2D.2答案B分析由于a≠b，故a2＋b2>ab.2又由于a＋b＝2>2ab，2＋b2＋b2－2ab2＋b2故ab<1，a＝a2＝2－ab>1，即a2>1>ab.25．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法6．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．答案a>c>b分析∵a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a>c.∵c＝6－2＝b7－37＋3＞1，∴c＞b.6＋27．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．由于a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.法二要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0，3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．二、能力提高18．设0<x<1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝1－x中最大的一个是()A．aB．bC．cD．不可以确立答案C分析∵b－c＝(1＋x)－1＝1－x2－1＝－x2，1－x1－x1－x<0b<c.又∵b＝1＋x>2x＝a，∴a<b<c.ab9．已知a，b为非零实数，则使不等式：b＋a≤－2成立的一个充分不用要条件是()A．ab>0C．a>0，b<0

B．ab<0D．a>0，b>0答案

C分析

ababab∵b与a同号，由b＋a≤－2，知b<0，a<0，b即ab<0.又若ab<0，则b<0，a<0.abab∴b＋a＝－－b＋－a≤－2ab＝－2，－b·－aab综上，ab<0是b＋a≤－2成立的充要条件，ab∴a>0，b<0是b＋a≤－2成立的一个充分而不用要条件．10.以以下图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你以为正确的一个条件即可，不用考虑全部可能的情况)．答案对角线相互垂直分析本题答案不独一，要证A1⊥11，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面11，CBDACC由于该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．．已知a＞0，1－1＞1.求证：1＋a＞111ba.1－b证明要证1＋a＞1成立，1－b1只需证1＋a＞，只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，∴a－b＞ab，只需证：a－b＞1，即1－1＞1.abba由已知a＞0，1－1＞1成立，ba∴1＋a＞1成立．1－b．求证抛物线2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－p相切．12y2证明如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只1需证|MM′|＝|AB|2由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，1所以只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，2依据梯形的中位线定理可知上式是成立的．p所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．2三、研究与创新．·广东设数列n的前n项和为n，已知a1＝1，2Sn＝an＋1－12－n－2，n∈13(2013){a}Sn3n3N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对全部正整数1＋1＋＋1＜7n，有a1a2an4.(1)解当＝时，2S1＝2a1＝a2－1－1－2＝2，解得a2＝4.n1133(2)解13222Sn＝nan＋1－n－n－n33①1322当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－3(n－1)－(n－1)－3(n－1)②①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－nan＋1anan＋1an整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即＝n＋1，＋－n＝1，n＋1n1当n＝1时，a2a1＝2－1＝1.2－1an所以数列n是以1为首项，1为公差的等差数列．所以an＝n，即an＝n2.n所以数列{an}的通项公式为