圆周角 市赛获奖

24.1圆的有关性质

24.1.4圆周角

——圆周角定理及其推论

R·九年级上册新课导入如图,把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上,得到∠ACB.问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？ABOC(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般”“分类”“化归”等数学思想.重点：圆周角定理及其推论.难点：圆周角定理的证明与运用.推进新课知识点1圆周角的定义及圆周角定理1.圆心角的定义?顶点在圆心的角叫圆心角.ABOC2.图中∠ACB的顶点和边有哪些特点？

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．【对应训练】（广西柳州中考）下列四个图中，∠x是圆周角的是()C图中圆周角∠ACB和圆心角∠AOB有怎样的关系？ABOC探究用量角器量一量，猜一猜.（1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？BCOABCOABCOA⌒（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？第一种情况：BCOA∵

OA=OC，∴∠A=∠C．

又∵∠BOC=∠A+∠C，∴证明：证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，第二种情况：BCOA同理，∴∴D请同学们自己完成证明.BCOA第三种情况：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角定理：如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于()A.40°B.50°C.60°D.70°【对应训练】解析：⊙O是△ABC的外接圆,OB=OC所以∠OBC=∠OCB=50°,∠BOC=80°,∠A=∠BOC=×80°=40°.A在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。

上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ABOC那么，圆周角呢？与弧、弦有什么关系吗？一条弧与其所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？知识点2圆周角定理的推论思考根据圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等．ADBCO∴同弧：∠BAC与∠BDC同BC，⌒∠BAC与∠BDC有什么关系？证明：.如图，做出两弧所对应的圆心角.根据圆周角定理可知，等弧所对的圆周角相等．∴等弧：ADBCOEBC=CE,∠BDC与∠CAE有什么关系？⌒⌒又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE.⌒⌒∠BDC=∠CAE同弧或等弧所对的圆周角相等．推论1：

显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.DBCOE.一条弦所对应的圆周角有两个.你能发现这两个角有什么关系吗？如图所示，连接BO、EO.显然,∠C与∠D所对应的圆心角和为

，所以根据圆周角定理可知∠C+∠D=

.360°180°在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补.半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？C1AOBC2C3思考所对应的圆心角为

，则对应的圆周角为

.180°90°半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.推论2：如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，

ACB的平分线交⊙O于点

D，求BC，AD，BD的长．例4解：连接OD.

ACBDO∵AB是⊙O的直径，∴ACB=ADB=90°．在Rt△ABC中，

106ACBDO106∵

CD

平分ACB，∴ACD=BCD，∴AOD=BOD．∴

AD=BD．在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，∴

AD=BD=

=（cm）．8如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.知识点3圆内接多边形ABCDO如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.圆内接四边形的四个角之间有什么关系？思考ABCDO∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°圆内接四边形的对角

.

互补随堂演练基础巩固1.下列四个图中，∠x是圆周角的是()C2.如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=()A.15°B.40°C.5°D.35°D3.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=

.4.如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝

.80°125°5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.又∵∠B=∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.解：连接OA、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.7.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.解：△ABC是等边三角形.

证明如下：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形.8.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.9.如图,已知EF是⊙O的直径,把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上,斜边AB与⊙O交于点P,点B与点O重合;将三角形ABC沿OE方向平移,使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°,则x的取值范围是

．综合应用30≤x≤6010.如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F不与B、C重合)，A是BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．(1)当α=50°时，求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明.拓展延伸⌒解：(1)连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=∠AOB=×40°=20°,即β=20°.(2)β=45°-α.证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝

∠AOB,∴β＝12(90°-α)＝45°-α.⌒课堂小结圆周角圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.圆周角定理及其推论：定理:推论一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．①同弧或等弧所对的圆周角相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.圆内接四边形：圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的