课件汇总附案例-9.0模型及解分析检验

1.9模型及解的分析检验求解数学模型

实际问题分析建立数学模型模型与模型解的分析及检验

始于现实世界并终于现实世界数学建模工作最终要得到现实问题的解答

求出模型的数学解以后，应对解的意义进行分析、检验一、模型解分析常需讨论以下类似问题：1.这个解说明了什么问题？2.是否达到了建模目的？3.模型的适用范围怎样？4.所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有原理性错误、常识性错误？……

例1.9.1P65《格列佛游记》中小人国的小人们为估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了一个数学模型.

W=aH3

W是人的体重，H

是人的身高.检验先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米，重约3千克,代入模型得

得模型为

W=24H3

这是一个适用于肥胖人群的体重－身高模型,据此可计算得

身高为1.5米的儿童体重为

W(1.5)=81(千克)；身高为2米的运动员体重为

W(2)=192(千克).检验模型及其解是数学建模工作的重要环节

例1.9.2(P66)将一块石头扔进洞中估计洞的深度.一名学生建立了从扔下石头到听到声音的时间

t和洞深

h的关系模型：h—洞深，t—听到回声的时间.用到假设：其中k为比例系数.*1

石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;*2

阻力产生的加速度也和速度成正比.系列分析检验：1.检查模型的量纲是否正确?

应用量纲齐次原则对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.

参见律师辩护问题P89~92此例中根据比例系数k

的定义有

LT－2=[k]LT－1

[k]=T－1

量纲齐次原则:任一有意义的物理方程必定是量纲一致的,即有

[左边]=[右边]

注意到exp(－kt)是无量纲量，验证得模型的量纲正确.

2.检验模型是否与物理定律相符?

若忽略空气阻力（即k=0）,应有

h=0.5gt2

验证模型是否与此物理定律相符.能否将k=0代入模型？参见讲义P66.3.参数的灵敏度分析取参数

k的值为0.05(克/秒),可算得即若回声在4秒听到，模型测算出洞深73.50米.

若参数k有微小变化，测算值会怎样变化？令k=0.045,

参数的相对变化幅度为︱0.045－0.05︱/0.05=10%，

计算得

h2=h(4)≈73.98，洞深预测值相对变化幅度为

（73.5－73.89）/73.5＜1%.

怎样解释这两个数据？？

说明模型对空气阻力比例系数k不敏感,即对洞深预测影响不大,可忽略空气阻力.

问题在模型中完全不考虑空气影响？4.进一步分析空气的影响

若完全忽略空气的影响,有

h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)，绝对误差为

78.48－73.50≈5(米)，相对误差为（78.48－73.50）/73.50≈7%，结果分析

说明被忽略的空气因素对模型解产生较明显的影响.空气空气阻力？

事实上，

模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音能立即听到.未考虑声音在空气中的传播速度.

传播速度大约为330米／秒

,则石头着地声音的传播时间大约为取修正时间为

t=4－0.223=3.777（秒）

可得

h(3.777)≈65.77(米)h／330≈73.5／330≈0.223（秒）

结论

声速的影响远甚于空气阻力的影响.

通过对模型的分析、检验，发现由于模型假设不合理,考虑因素不合适,造成模型不合理.需重新进行问题的前期分析工作数学建模过程分为若干有明显差别的阶段性工作

求解数学模型

实际问题分析建立数学模型提交论文与报告

模型及模型解的分析及检验

1.

量纲一致性检验；2.

假设的合理性检验；3.

对模型参数的灵敏度分析；4.

模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等；5.

参数或变量的临界值；……

模型与模型解的分析与检验，通常需要做以下几类工作：

1．模型误差的客观存在性希望建立的模型尽善尽美：

能“逼真”地模拟现实系统；

能“精确”地预测系统的未来情况；

能“准确”地控制系统；

得到问题的“最优”解；…良好愿望

二、模型误差分析逼真、精确、准确、最优、…

数学模型是对现实世界的理想化，不可能是真实世界的再现

任何数学模型在建立和使用的过程中，不可避免的产生模型误差.

如：附加进数据测量误差,舍入误差和截断误差等.有必要对模型误差进行分析，并给出估计.

常用“绝对误差”和“相对误差”来衡量误差的大小程度：

绝对误差=测量值－近似值相对误差=绝对误差/测量值与数量级有关

例1.19.3用经验公式

作为土豆产量的近似估计公式,其误差数值列表如下（参见p168表7.6）0.0010.0641.201960.0622.5638.4898－0.06－2.0334.50240.06相对误差1.96绝对误差

31.50施肥量

问题

如何评价误差数据？2．误差分析各类误差

数据测量误差

截断误差

模型假设误差

1）数据测量误差*在建立模型之前应该尽量控制实验数据的质量,使之测量准确可靠.

*数据带有无法消除的测量误差时,应分析它对模型造成的影响,并对模型误差进行估计.例1.19.4储油罐的变位识别与罐容表标定(2010A)通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3m油位高度图1储油罐正面示意图油位探针油位探针α地平线图2储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线工作:已确定罐容表的基础上用油位计来测量罐内油位高度数据,利用罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.罐容表：罐内油位高度与储油量的对应关系.问题:若油位计测量罐内油位测量高度有误差,对问题的解决会产生什么影响?hh+Δh例1.19.5有高为100厘米的半球形容器中装满了水.从某一时刻开始，水从底部一个横截面积为1平方厘米的小孔流出，可以随时测出水面高度h.由水力学知，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率)Q，有关系式

其中0.62为流量系数,S是小孔口横截面积，g为重力加速度.

由测出的水面高度h,可算得水流量,由于仪器所限，测出的高度值有±

0.1厘米的误差,这会引起水流量Q的多大误差？

100h水面高度h有误差Δh

分析

水面高度误差为Δh

,水流量误差则为

在

h=50厘米处,代入Δh=0.1厘米,可算得绝对误差为

相对误差为在h=50厘米处的相对误差为约为1‰.2)截断误差截断误差的来源：

1.用数值方法近似求解会产生截断误差；

2.函数近似产生截断误差；3.计算机运算的精度误差；

应分析截断误差对模型的影响

续例1.8.4广义生日问题求最小的整数n，使

f(n)≤q(给定)

利用求根法对不同x算出n

的最小值n*，见表(P170表7.7)的前两列,建立经验公式为建立满足f(n)≤q(q=0.5)的最小值n*与x

之间的关系式.

方法一（最小二乘法）方法二泰勒近似建立泰勒近似公式为练习对两种近似求解方法,计算各个近似值的绝对误差和相对误差.泰勒近似式的误差控制函数注意到f(n)和g(n)都是单调下降函数,选择n*使g(n*)≥q≥g(n*+1)≥f(n*+1)，又若f(n*)≥q，则n*或n*＋1就是整数n满足f(n)＜q的最小值.g(n)f(n)qn*n*+1若f(n*)=qf(n)≤q

，当n≥n*；若

f(n*)＞q对最小值n*点有当n≥n*+1.

f(n*)＞q≥g(n*+1)≥f(n*+1)≥f(n)，3)模型假设误差续例1.5.3施肥效果分析有人做了如下两条假设：

*1在实验中除施肥量,其他影响因子:如环境条件,种植密度,土壤肥力等,均处于同等水平；是用g(n)代换f(n)的误差控制函数,比值越接近于零，误差越小.*2各次实验独立,误差项ε均服从N(0,σ2).分析：从数据可见在实验点实际重复了三次试验.问题：三次试验的土豆产量分别为43.15，41.26，38.43（单位：t/ha）第七试验水平

按照假设这3次重复试验产生的产量波动完全因随机误差所致.如何解释这3个数据的波动？并且土豆产量满足回归方程合理吗？分析：由3个数据计算得

现30个试验数据绝大多数落在区间(33.82,48.07)之内

由施肥水平变化所引起的土豆产量的变动幅度不及随机误差产生的波动幅度大

.不合理不合理的原因：实际上三次重复试验带有系统误差主要来源于土壤肥力,生长期的管理措施等多种试验时的外界条件变化.

试验设计中，将试验实施过程中外界环境条件的差异所造的系统偏差称为区组效应.

施肥问题中,对应于每种营养素的10个施肥试验点,应并为一个区组.

可认为区组内10次试验的试验条件较为一致,而不同区组间的试验条件差别较大.

由有区组效应的数据不可能分析出各个肥素对土豆产量的交互作用.

利用数据建立模型应尽量消除区组效应

通过试验设计，保证数据质量.例1.5.3施肥效果分析

某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P).某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据如下列表所示,其中ha表示公顷,……当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于N的施肥量做实验时,P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha.施肥量(kg/ha)产量(t/ha)015.183421.366725.7210132.2913534.0320239.4525943.1533643.4640440.8347130.75施肥量(kg/