其他代数系统

其他代数系统第一页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环定义7.1

设有代数系统(R,+,＊)如对任意a,b,c∈R满足下列条件： 1)(R,+)是一个可换群； 2)(R,＊)是一个半群； 3)运算＊对+满足分配律，即a＊(b+c)=a＊b+a＊c(b+c)＊a=b＊c+c＊a(使得加法单位元成为乘法零元素(R,＊)不可能是群) 则称(R,+,＊)是环.在环中,a-b≡a+(-b),这里-b是b关于运算+的逆元第二页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环定义7.2

设(R,+,＊)是环，而且对＊满足交换律，则称(R,+,＊)是可换环.定义7.3

设(R,+,＊)是环，(R,＊)是单元半群，则称(R,+,＊)是含单位元的环.对+运算的单位元用“0”表示,对＊运算的单位元用“1”表示.例：(I,+,×),(Q,+,×),(R,+,×)都是环，且是可换环及含单位元的环.第三页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环例：设(R,+,＊)是一代数系统,其中R为实数集,+为实数加法,任取a,b∈R,a＊b=|a|b. 试判断(R,+,＊)是否为环.解： (R,+)是可换群,(R,＊)是半群 任取a,b,c∈R,有 a＊(b+c)=|a|(b+c)=|a|b+|a|c=(a＊b)+(a＊c) (b+c)＊a=|b+c|a (b＊a)+(c＊a)=|b|a+|c|a |b+c|a=|b|a+|c|a不一定成立,所以＊对+不是右可分配的. 所以(R,+,＊)不是环.第四页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环例(7.4)：设(R,+,＊)是环且对每个a∈R,有a2=a(此种环称布尔环),试证： 1)(R,+,＊)是可换环; 2)对所有a∈R,都有a+a=0.证明： 1)因为对于任意的a,b∈R,都有a+b∈R,a2=a,所以(a+b)＊(a+b)=a+b =>a＊a+a＊b+b＊a+b＊b=a+b =>a+a＊b+b＊a+b=a+b =>a＊b+b＊a=0 即a＊b=-b＊a第五页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环 2)因为对任意的a∈R,都有a+a∈R,a2=a,所以 (a+a)＊(a+a)=a+a =>a＊a+a＊a+a＊a+a＊a=a+a =>a+a+a+a=a+a =>a+a=0 即a=-a=>b＊a=-b＊a 综上有a＊b=b＊a,所以(R,＊)满足交换律,(R,+,＊)是可换环.第六页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环定理7.1 设(R,+,＊)是环，对a,b∈R，必有 1)a＊0=0＊a=0 2)a＊(-b)=(-a)＊b=-(a＊b) 3)(-a)＊(-b)=a＊b如果环(R,+,＊)有非零元素a,b∈R，使得a＊b=0,则称(R,+,＊)有零因子.第七页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环定理7.2 环(R,+,＊)无零因子当且仅当(R,+,＊)满足消去律. 即环(R,+,＊)中a,b,c∈R且a≠0，有 a＊b=a＊c☞b=c b＊a=c＊a☞b=c证明：环(R,+,＊)无零因子,令a,b,c∈R满足a＊b=a＊c,a≠0,因此a＊b-a＊c=a＊(b-c)=0,所以b=c.如果环(R,+,＊)有零因子,令a,b∈R使得a＊b=0,假设a≠0,有a＊b=a＊0=0,由消去律有b=0.同理,假设b≠0,则有a=0。这与环(R,+,＊)有零因子矛盾.第八页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环例：设I是整数集合,X={(a,b)|a∈I且b∈I},定义X上的二元运算⊕和◎如下： 设(a1,b1),(a2,b2)∈X,则有 (a1,b1)⊕(a2,b2)=(a1+b1,a2+b2) (a1,b1)◎(a2,b2)=(a1×b1,a2×b2) 其中+,×分别是算数加法和乘法运算. 试证(X,⊕,◎)是环,并求出此环的所有零因子.证明： 根据运算⊕的定义,⊕在X上封闭,且满足交换律和结合律.第九页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环 (X,⊕)的幺元是(0,0),任取(a,b)∈X,(a,b)的逆元是(-a,-b).所以(X,⊕)是可换群. 运算◎在X上封闭,且满足结合律,所以(X,◎)是半群. 任取(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3)∈X,有 (a1,b1)◎((a2,b2)⊕(a3,b3)) =(a1×a2+a1×a3,b1×b2+b1×b3) ((a1,b1)◎(a2,b2))⊕((a1,b1)◎(a3,b3)) =(a1×a2+a1×a3,b1×b2+b1×b3) 运算⊕和◎满足交换律,可得◎对⊕是可分配的.第十页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环 综上,(X,⊕,◎)是环 ⊕的幺元(0,0)就是◎的零元 对于任意元素(a,0),(0,b)∈X(a≠0,b≠0),有 (a,0)◎(0,b)=(0,0) 所以所有的(a,0)及(0,b)(a≠0,b≠0)都是该环的零因子.第十一页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环定义7.4 设(R,+,＊)是环,S是R的非空子集,如子代数(S,+,＊)也是环,则称它是(R,+,＊)的子环.定理7.3 设(R,+,＊)是环,(S,+,＊)是它的子代数,(S,+,＊)是(R,+,＊)的子环的充分必要条件是对任一a∈S,都有a-1∈S.(这里a-1是+运算的逆)第十二页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.1环定义7.5 设(R,+,＊)与(S,⊕,◎)是两个环,f：RS是函数,如果对所有a,b∈R,有： 1)f(a+b)=f(a)⊕f(b) 2)f(a＊b)=f(a)◎f(b) 则称f是一个环同态.如f是一一对应函数,则称f是一个环同构,或说环(R,+,＊)与(S,⊕,◎)环同构,并记以 (R,+,＊)

(S,⊕,◎)或简记为为RS第十三页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.2理想定义7.6环(R,+,＊)的子环(D,+,＊)如满足对每个a∈R,d∈D都有a＊d∈D,d＊a∈D,则称(D,+,＊)是(R,+,＊)的一个理想子环,或简称理想.如D=R或D={0}则称(D,+,＊)是(R,+,＊)的平凡理想.如D≠{0}、D⊂R则称(D,+,＊)是(R,+,＊)的真理想.第十四页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.2理想若(D,+,＊)是(R,+,＊)的真理想,且不存在D’⊃D使得(D‘,+,＊)是(R,+,＊)的真理想,则称(D,+,＊)是(R,+,＊)的最大理想.设(D,+,＊)是(R,+,＊)的理想,对某个g∈D有 D={r＊g|r∈R}, 则称(D,+,＊)为主理想.显然,g是(D,+,＊)的生成元素.若一个环的每个理想都是主理想,则称该环为主理想环. 如：(I,+,×)是主理想环,对每个非负整数m,子环({m×I|i∈I},+,×)都是(I,+,×)的主理想.第十五页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.2理想例(7.1)：试证两个理想的交集仍构成一个理想.证明： 设(D1,+,＊)和(D2,+,＊)是环(R,+,＊)的两个理想,令a,b∈D1∩D2,r∈R,于是a,b∈D1,a,b∈D2,从而有： a-b,r＊a,a＊r∈D1 a-b,r＊a,a＊r∈D2 因此a-b,r＊a,a＊r∈D1∩D2 故(D1∩D2,+,＊)是一个理想.第十六页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.3整环定义7.7 设(R,+,＊)是环,它有单位元、是可换环、无零因子则称(R,+,＊)是一个整环.定理7.5 (R,+,＊)是一个整环,A-{0}中所有元素关于运算＊均是可消去的,即对任意a,b,c∈R且a≠0,如有a＊b=a＊c,则必有b=c.第十七页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.3整环例：判断以下环是否是整环？ 1)(I,+,×) 2)(Z6,+6,×6)3)(Z7,+7,×7)解： 1)(I,+,×)是整环.因为×可交换,1是乘法幺元,且(I,+,×)中无零因子. 2)(Z6,+6,×6)不是整环.因为[0]是×6运算的零元,而[3]×6[2]=[0],所以(Z6,+6,×6)是含零因子环. 3)(Z6,+6,×6)是整环.定理7.6 环(Zm,+m,×m)是整环的充分必要条件是m是素数.第十八页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.3整环例：已知({(a,b)|a,b为整数},+,＊),讨论该代数系统是否为环?是否为整环?其中 (a,b)=(c,d)a=c且b=d (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)＊(c,d)=(ab,cd)解：设S={(a,b)|a,b为整数} 1)(S,+)为可换群,其单位元素为(0,0) 2)(S,＊)对任何(a,b),(c,d),(e,f)∈S,有 ((a,b)＊(c,d))＊(e,f)=(ac,bd)＊(e,f)=(ace,bdf) (a,b)＊((c,d)＊(e,f))=(a,b)＊(ce,df)=(ace,bdf) 故满足结合律,(S,＊)是半群.第十九页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.3整环

3)(a,b)＊(c,d)+(a,b)＊(e,f)=(ac,bd)+(ae,bf) =(ac+ae,bd+bf) (a,b)＊((c,d)+(e,f))=(a,b)＊(c+e,d+f) =(ac+ae,bd+bf)=(a,b)＊(c,d)+(a,b)＊(e,f)

同理可证, ((a,b)+(c,d))＊(e,f)=(a,b)＊(e,f)+(c,d)＊(e,f)

＊对+满足分配律.

故,(S,+,＊)是环.

＊运算的单位元素为(1,1),但(0,1)＊(1,0)=(0,0),存在零因子,所以(S,+,＊)是环,不是整环.第二十页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.3域定义7.8

设环(F,+,＊)满足下列条件：

1)F至少包括有一个以上元素; 2)(F,＊)有单位元; 3)(F,＊)是可换的; 4)(F,＊)除零元素外均有逆元素.

此时称(F,+,＊)为域.设(F,+,＊)是整环,|F|>1,且(F-{0},＊)是群,则(F,+,＊)是域.第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.3域定理7.7 每个域均满足消去律.定理7.8 域一定是整环.定理7.9 有限整环必是域. 环(Zm,+m,×m)是域的充分必要条件是m是素数.第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日7.1.3域例(7.6):设(F,+,＊)是域,(R,+,＊)是它的子环,说明(R,+,＊)是否一定为一个整环.解： 此时(R,+,＊)不一定是整环. 例如：令(F,+,＊)为(Q,+,＊),有理数上的普通加法和乘法，是一个域. 令(R,+,＊)为({2x|x∈Z},+,＊),偶数集上的普通加法和乘法. 此时(R,+,＊)是(F,+,＊)的子环，但是不含乘法单位元，故不是整环.第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日7.2格与布尔代数定义2.12集合X上的关系R如果是自反的、反对称的、传递的，则称R在X上是偏序的或称R是集合X上的偏序关系。而称集合X为R的偏序集用(X,R)表示.一般用符号“≤”表示偏序

(有时我们用x＜y表示x≤y,且x≠y)定义2.16 设集合X有一个偏序关系“≤”且设Y是X的一个子集，则如果x∈X是Y的上界且对每一个Y的上界x’均有x≤x’，则称x是Y的上确界；如果x∈X是Y的下界且对每一个Y的下界x’均有x’≤x，则称x是Y的下确界.第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.1格定义7.9

格是一个偏序集,其中任两元素所构成的子集有下确界与上确界,它也可称为偏序格.

记x,y的上确界为x∨y=lub(x,y) x,y的下确界为x∧y=glb(x,y)lub=leastupperbound上确界glb=greatestlowerbound下确界集合P上的偏序关系“≤”所构成的偏序集如它是格,可写成

(P,∧,∨)若P中的元素有限,则P称有限格.第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.1格例：判断下面各哈斯图表示的偏序集合是否是格.(1)(2)(3)解：

1)不是格,a,b无上确界,e,f没有下确界. 2)不是格,b,c和c,d没有下确界,c,e没有下确界和上确界. 3)不是格,d,e没有上确界,b,c没有下确界.aecfbdabdceabcdef第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.1格

(4)(5)(6)(7)

解: (4)-(7)都是格.acdbabcdeccabdeabde第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.1格(P,∧,∨)是格,M⊂P且M≠Ø,若(M,∧,∨)也构成格,则称(M,∧,∨)是(P,∧,∨)的子格.(M,∧,∨)是(P,∧,∨)的子格的充分必要条件是M关于∧,∨是封闭的.定义7.10 设(P,∧,∨)和(L,∧,∨)是两个格,若存在函数f:PL,使得对任意的b∈P,有 f(a∧b)=f(a)∧f(b) f(a∨b)=f(a)∨f(b) 则称f为格P到L的格同态,或称(P,∧,∨)与(L,∧,∨)同构.第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.1格1个元素的格：2个元素的格： 3个元素的格：4个元素互不同构的格：5个元素互不同构的格：acdbabcdabcdeabdeabdeacdbeabdeccc第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.1格定理7.10 设(P,∧,∨)是格,则对任意a,b,c∈P,有 a≤a∨b,b≤a∨b 或a∨b≥a,a∨b≥b a≤c且b≤c=>a∨b≤c 或c≥a且c≥b=>c≥a∨b a∧b≤a,a∧b≤b 或a≥a∧b,

b≥a∧b c≤a且c≤b=>c≤a∧b 或a≥c且b≥c=>a∧b≥c第三十页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.1格例：试证，设(P,∧,∨)是格,如果a≤c,b≤d,则必有a∨b≤c∨d证明：

c≤c∨d,d≤c∨d

因为a≤c,b≤d，所以a≤c∨d,b≤c∨d a∨b是a,b的上确界,故a∨b≤c∨d.

第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.1格例：证明在格中若a≤b≤c,则

1)a∨b=b∧c 2)(a∧b)∨(b∧c)=b=(a∨b)∧(a∨c)证明：1)因为a≤b,所以a∨b=b.

又因为b≤c,所以b∧c=b.

故有a∨b=b∧c2)因为(a∧b)∨(b∧c)=(a∧b)∨b=b

由a∨b=b和a∨c=c,有

(a∨b)∧(a∨c)=b∧c=b.

故(a∧b)∨(b∧c)=b=(a∨b)∧(a∨c).第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.2格的基本定律对偶式：在格(P,∧,∨)中的式子里出现≤,≥,∧,∨之处分别用≥,≤,∨,∧得到的式子.一个格的哈斯图旋转180还是一个格.称为原格的对偶格.定理7.11

在格(P,∧,∨)中任何一条定理对其对偶式亦是定理.定理7.12 设(P,∧,∨)是格,对每个a∈P,必有 1)a∨a=a 2)a∧a=a 即运算∧,∨满足等幂律.第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.2格的基本定律定理7.13

设(P,∧,∨)是格,对每个a,b∈P,有

1)a∨b=b∨a 2)a∧b=b∧a

即运算∧,∨满足交换律.定理7.14

设(P,∧,∨)是格,则对每个a,b,c∈P,有

1)a∨(b∨c)=(a∨b)∨c 2)a∧(b∧c)=(a∧b)∧c

即运算∧,∨满足结合律.第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.2格的基本定律定理7.15

设(P,∧,∨)是格,对每个a,b∈P,有

1)a∨(a∧b)=a 2)a∧(a∨b)=a

即运算∧,∨满足吸收律.定理7.16

设(P,∧,∨)是格,对每个a,b∈P,有

a∧b=a当且仅当a∨b=b第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有补格定义7.11

如格(P,∧,∨)满足分配律,即对任意a,b∈P,有

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

则称(P,∧,∨)是分配格.定理：每个链都是分配格.定义7.12

如果一个格既有下届,又有上届,则称此格为有界格.第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有补格定理7.17

设(P,∧,∨)是有界格,则对任意a∈P,有

a∨1=1 a∨0=a a∧1=a a∧0=0

其中1与0分别表示(P,∧,∨)的(全)上界与(全)下界.定理： 一个格若有上(下)界,则是唯一的.

每个有限格都是有界格.第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有补格定义7.13

设(P,∧,∨)是有界格,如果对每个a∈P,必有∈P且满足

a∨=1 a∧=0

则称(P,∧,∨)是有补格,其中是a的补元素.若一个格既是有补格又是分配格,则称此格为有补分配格,或布尔格,布尔代数.第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有补格定理7.18

设(P,∧,∨)是有补分配格,对任一a∈P,它的补元是唯一的.定理7.18(德•摩根定理)

设(P,∧,∨)是有补分配格,则对任意a,b∈P,有

第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有补格证明具有两个或更多个元素的格中不存在以自身为补元的元素.证明： 凡涉及补元,该格必为有界格,对于任何一个有界格来说,均存在全上界1,全下界0,并有：

1∨1=1,1∧1=1 0∨0=0,0∧0=0

故0和1都不可能以自身为补元,所以具有两个元素的格中不可能存在以自身为补元的元素