第3讲数列极限

会计学1第3讲数列极限第二章极限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X”

语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。第1页/共59页第二章极限第一节数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则第2页/共59页称为一个数列,

记为{xn}.1.定义

数列中的每一个数称为数列的一项xn=f(n)

称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质

数列也称为序列第3页/共59页2.数列的表示法公式法图示法表格法

运用数轴表示运用直角坐标系表示第4页/共59页介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例1第5页/共59页…xnx2x1x0x3…••••••••••第6页/共59页01–1x所有的奇数项所有的偶数项第7页/共59页x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项第8页/共59页1xnx3x2x1x0………••••••••••…第9页/共59页3.数列的性质单调性有界性第10页/共59页(1)

数列的单调性数列单调减少的情形怎么定义？有谁来说一说.第11页/共59页第12页/共59页严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列第13页/共59页(2)数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？第14页/共59页第15页/共59页数列的有界性的定义如何定义数列无界？

有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：第16页/共59页|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N从数轴上看,有界数数列{xn}

的全部点都落在某区间

(－M*,M*)中.()x0M*－M*••••••••••第17页/共59页例2…xnx2x1x0x3…••••••••••观察例1中的几个数列：第18页/共59页01–1x第19页/共59页x1M3x1xx4x2••••••••••0第20页/共59页1xnx3x2x1x0………••••••••••…第21页/共59页xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……

有些数列虽然无界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.第22页/共59页若xnM,MR,

则称

{

xn}有上界.若xnm,mR，

则称

{

xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.第23页/共59页

一个数列有界(有上界,有下界),则必有无穷多个界(上界,下界).第24页/共59页

现在来讨论如何定义数列的无界：

首先看有界性定义的关键所在对所有的第25页/共59页例3证分析第26页/共59页二、数列的极限001第27页/共59页

极限描述的是变量的变化趋势.讨论数列当无限增大时的变化趋势.容易看出:当无限增大时,x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*••••••••••••••••••••••••••第28页/共59页“n无限增大”

记为

n.此时称数列当n时以零为极限,记为：这就是该数列的变化趋势第29页/共59页的图上看,

从数列x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*••••••••••••••••••••••••••

量化表示：n时,xna.第30页/共59页预先任意给定一个正数>0,不论它的值多么小,当n无限增大时,

数列

{xn}总会从某一项开始,

以后的所有项都落在

U(0,)中.（在U(0,)外面只有有限项）第31页/共59页

010)1(e<--nn其中,是描述点xn与点

0

无限接近的度量标准,它是预先任意给定的,与{xn}的极限存在与否无关.不存在.第32页/共59页由

N存在与否判断数列的极限是否存在.

n>N描述

n.通过目标不等式来寻找N

>0,N=N().不等式称为目标不等式.第33页/共59页一般地,

如果数列{xn}当

n时,

列{xn}当

n时以

a为极限,记为xn可以无限地趋近某个常数

a,

则称数此时,也称数列是收敛的.第34页/共59页例4001第35页/共59页若{xn}当

n时没有极限,

则称{xn}发散.若时,使当记为或此时,

也称数列{xn}是收敛的.

极限描述的是变量的变化趋势

数列的项不一定取到它的极限值.数列极限的定义：第36页/共59页例5证故取则n>N时,由极限的定义,得第37页/共59页例6证成立.由极限的定义可知:

放大不等式法第38页/共59页例7证

通常说成：常数的极限等于其自身.第39页/共59页例8证由绝对值不等式,得注意：该例题结论的逆命题不真.例如,{(1)n}.第40页/共59页例9证逆命题成立吗？第41页/共59页例10证第42页/共59页第43页/共59页1.唯一性定理若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一.想想,如何证明它？三、数列极限的性质第44页/共59页设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证运用反证法任意性由的任意性,上式矛盾,故a=b.第45页/共59页

唯一性定理的推论的任何一个子数列都收敛,且均以a为极限.

充分必要条件何谓子数列？第46页/共59页子数列的概念

在数列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为

唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．第47页/共59页例11解取子数列：第48页/共59页例12解利用函数的周期性,在{xn}中取两个子数列:第49页/共59页第50页/共59页2.有界性定理

若数列{xn}收敛,

则{xn}必有界.证设则由极限定义,取时,即有则由数列有界的定义得：数列{xn}收敛,则必有界.

该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.

例如,{(－1)n}.第51页/共59页有界性定理的推论：即无界数列的极限不存在.

无界数列必发散.第52页/共59页例13发散的数列不一定都无界.例如,{(－1)n}.第53页/共59页

收敛的数列必有界.

有界的数列不一定收敛.

无界的数列必发散.

发散的数列不一定无界.第54页/共59页第55页/共59页3.保号性定理证由绝