内蒙古自治区呼和浩特市东井子中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市东井子中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量a=（2，1），b=（3，2），若a（a+b），则实数等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D2.设函数，若存在为自然对数的底数，使得，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】单元综合B14由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b），

其中f-1（x）是函数f（x）的反函数

因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为

“存在b∈[1，e]，使f（b）=f-1（b）”，

即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，

且交点的横坐标b∈[1，e]，

∵y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，

∴y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，

由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，

令：lnx+x-a=x，则方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx-x，

设g（x）=lnx-x则g′（x）=-=，

当g′（x）=0．解得x=2，

∴函数g（x）=在[1，2]为增函数，在[2，e]上为减函数，

∴g（x）≤g（2）=ln2-1，g（1）=-，g（e）=1-e，

故实数a的取值范围是[-，ln2-1]【思路点拨】利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．3.函数的反函数为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略4.在某新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(

)X1.99345.16.12Y1.54.047.51218.01

A．y=2x﹣1 B．log2x C．y= D．y=（）x参考答案：C考点：归纳推理．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，利用排除法可得出正确的答案．解答： 解：由表格中的数据知，y随x的变化趋势，可得函数在（1，+∞）上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快，∵A中函数是线性增加的函数，B中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；∴排除A，B、D答案，C中函数y=比较符合题意，故选：C．点评：本题考查函数模型的选择与应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．5.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝an2(n∈N*)．对于任意的正整数n，不等式t2－an2－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(

)(A)1(B)2

(C)3

(D)6参考答案：C易证得数列{an}是递增数列，又t2－an2－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0，∴t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，∴tmax＝3.故选C.6.高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A． B．2 C． D．参考答案：B【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题中条件知高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．【解答】解：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为rr即为底面正三角形的内切圆半径，∵底面边长为4的r=2故选B．【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．7.设，定义为的导数，即，，若的内角满足，则的值是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A8.下列函数是奇函数的是

A．y=x2

B．y=

C．y=—x

D．y=|x|参考答案：C9.已知不共线向量满足，且关于的函数

在实数集R上是单调递减函数，则向量的夹角的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D10.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的值为

(A)

(B)

(C)

(D)(7)参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为______________.参考答案：

12.不等式：的解是

▲

．参考答案：0<x<113.设p在上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为

．参考答案：【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由题意知方程的判别式大于等于零求出p的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率．【解答】解：若方程x2+px+1=0有实根，则△=p2﹣4≥0，解得，p≥2或p≤﹣2；∵记事件A：“P在上随机地取值，关于x的方程x2+px+1=0有实数根”，由方程x2+px+1=0有实根符合几何概型，∴P（A）=．故答案为：．【点评】本题考查了求几何概型下的随机事件的概率，即求出所有实验结果构成区域的长度和所求事件构成区域的长度，再求比值．14.函数的最小值是____________．参考答案：15.设为实数，且，则

。参考答案：答案：4解析：，而

所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。16.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是

；参考答案：60°解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，TBN=D1M=NM=．TA1M=AN=．∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcosq，T12=++－2′cosq，Tcosq=．Tq=60°．17.设函数则满足的的取值范围是

．参考答案：(0,+∞)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】证明题；新定义；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由已知得an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，由此能证明数列{an}是“弱等差数列”．由a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，得到{an}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由递推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差数列性质能求出a=4，b=0，从而得到数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，由此能求了Sn．（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由经能求出a的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，∴an+1=an+b﹣an，an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，∴an+2﹣an=a，∴数列{an}是“弱等差数列”．∵a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，∴{an}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，∴an=．解：（2）∵当t=1，s=3时，数列{an}是等差数列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，∴，解得a=4，b=0，∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，∴Sn=2n+=n2+n．（3）∵s＞t，且数列{an}是单调递增数列，∴a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，∴a＞s﹣t．∴a的取值范围是（s﹣t，+∞）．【点评】本题考查“弱等差数列”的证明，考查数列的通项公式的求法，综合性质强，难度大，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19.已知函数f（x）=ex[x2﹣（a+2）x+b]，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0，其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）确定a，b的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，求实数M的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0确定a，b的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f（x）min＜M成立，即可求实数M的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex[x2﹣（a+2）x+b]，∴f′（x）=ex[x2﹣ax+b﹣（a+2）]，∴f′（0）=﹣2a2，∴b=a+2﹣2a2；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f（x）min＜M成立，由（Ⅰ）可知f′（x）=ex（x﹣2a）（x+a），令f′（x）=0，可得x=2a，或x=﹣a．a＜0，0＜x＜﹣a，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞﹣a，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＞0，f（x）min=f（﹣a）=e﹣a（3a+2），令g（a）=e﹣a（3a+2），则g′（a）=e﹣a（1﹣3a）＞0，此时函数单调递增，即g（a）＜g（0）=2，∴M≥2．20.(本小题满分13分)已知函数

.

（Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.参考答案：

………1分（Ⅰ）因在处有极值，所以有

即…………3分解得

……5分经检验，符合题意所以，当在处有极值时，，.(Ⅱ)因，所以令,得,

………7分①

当时,在,有；在有所以的增区间为,,减区间为.

…………10分②

当时,在,有；在有所以得增区间为,减区间为,.

…………13分综上所述,当时,得增区间为,,减区间为;

当时,得增区间为,减区间为,.

略21.（本小题满分14分）定义：上为增函数，则称为“k次比增函数”，其中，已知.（I）若是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；（II）当时，求函数上的最小值；（III）求证：参考答案：22.

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)