连续时间信号与系统频域分析

第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1信号的正交分解3.4连续时间信号傅立叶变换的性质及其应用3.3非周期信号的的傅立叶变换3.2周期信号的的傅立叶级数3.5周期信号的傅立叶变换3.6调制与解调3.7线性时不变系统的频域分析方法3.8无失真传输3.9理想低通滤波器3.10佩利－维纳准则和实际滤波器§3.1 信号的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量

两个矢量V1和V2正交的条件是两个矢量的点积为零。

图3.1-1两个矢量正交

矢量分解上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性合即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第i个分量的系数3.1.2信号的正交分解设g1(t),g2(t)是定义在区间(t1,t2)的两个实函数且满足则这两个函数在区间(t1,t2)正交，或它们是区间(t1,t2)正交函数。有一个定义在区间(t1,t2)实函数集{g1(t),g2(t)，…，gn(t)}在该集合中所有的函数满足则这个集合为区间(t1,t2)上的正交函数集。3.1.3用正交函数集表示信号若在区间(t1,t2)找到一个完备的正交函数{g1(t),g2(t)，…，gn(t)},在此区间的信号可以精确地用它们地线性组合来表示各分量的标量系数为

如果用不完备的正交函数集来表示任意函数，则必然出现误差。近似为显然，应选择各系数使实际函数与近似函数之间的误差在区间内最小。这里所说的“误差最小”不是指平均误差最小，因为有可能正误差和负误差在平均过程中相互抵消，以至不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差的均方值最小。§3.2 周期信号的的傅立叶级数

3.2.1周期信号的傅里叶级数不难证明三角函数集在区间内是一个完备的正交函数集，此函数集包括无穷多项。这样我们就可以将一个周期为T的周期信号表示为这个正交函数集中各函数的线性组合。需要指出，这种表示对周期信号有一定要求，即周期信号应满足狄里赫利条件：(1)在一周内连续或有有限个第一类间断点；(2)一周内函数的极值点是有限的；(3)一周内函数是绝对可积的，即

对于任何一个周期为T的周期信号，都可以将它表示为三角函数集中各函数的线性组合，即：

上式称为的三角形式傅里叶级数展开式

称为基波角频率

称为基波频率

是加权系数，称为傅里叶系数

是加权系数，称为傅里叶系数

三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式

称为的基波分量

称为二次谐波分量

称为n次谐波分量

两种三角形式系数的关系为

例已知周期信号画出其频谱图将x(t)整理为标准形式(a)振幅图；(b)相位图利用欧拉公式可将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数可将上式简写为这样x(t)的指数形式为该式称为周期信号x(t)的指数型傅立叶级数，其中称为傅立叶系数，简写为一般来说Xn是复常数可以表示成模和幅角的形式指数形式与三角形式系数之间的关系为3.2.2周期信号的功率谱周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号,无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为将x(t)表示成傅里叶级数并代入上式可得上式反映了周期信号的平均功率与离散谱之间的关系，称为功率信号的帕塞瓦尔关系式。它表明：周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。信号的幅频特性决定了信号的平均功率分布规律，显然，周期信号的功率谱也是离散谱。从周期信号的功率谱中可以直观的看到平均功率在各频率分量上的分布情况。信号波形相对于纵轴是对称的3.2.3傅立叶级数系数与函数对称的关系1、偶函数于是偶函数的傅立叶级数不含正弦项，只含余弦项和直流项。

2、奇函数信号波形相对于纵轴是反对称的奇函数的傅立叶级数展开式不含直流项和余弦项，只含正弦项。

3、半波像对称函数如果函数波形沿时间轴平移半个周期并上下翻转后得到的波形于原波形重合，

将代入第一个积分中，有

所以同理可得

可以看出，在其傅立叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。故半波像对称函数又称为奇谐数。另外还有所谓半波对称函数，就是其波形平移半个周期后得到的波形于原波形重合的函数。3.2.4周期信号傅立叶级数的近似与傅立叶级数的收敛性

这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。1、最小均方近似一般来说，任意周期函数表示为傅立叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，选取有限项级数是一种近似的方法，所选项数越多，有限项级数越逼近原函数，也就是说，其方均误差越小。误差函数方均误差取傅立叶级数的前项来逼近周期信号2、傅立叶级数的收敛条件周期信号展开傅立叶级数，必须满足狄利克雷（Dirichlet）条件：条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件3:在一周期内，信号绝对可积3.2.5周期矩形脉冲信号的频谱将x(t)展开成指数形式傅里叶级数

周期矩形脉冲信号的频谱

周期信号频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的增大而减小，当时，。

不同τ值时周期矩形信号的频谱(a)τ=T/5;(b)τ=T/10

不同T值时周期矩形信号的频谱(a)T=5τ;(b)T=10τ

§3.3 非周期信号的的傅立叶变换

在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在T趋于无穷时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；离散谱对非周期信号，不能再采用傅立叶级数的复振幅来表示其频谱，而必须引入一个新的量－频谱密度函数。下面我们由周期信号的傅立叶级数推导处傅立叶变换，从而引出频谱密度函数的概念。03.3.1非周期信号傅立叶变换表示式的导出3.3.2典型非周期信号付立叶变换1、矩形脉冲信号幅度频谱和相位频谱为别为

2、单边指数信号幅度频谱：相位频谱：3、双边指数函数从频谱函数的定义式出发双边指数信号及其频谱4、符号函数我们可用以下极限形式表示函数

另则，所以符号函数的频谱为5、冲激函数6、直流信号

比照单位冲激函数的傅立叶变换，由傅立叶逆变换容易求得所以7、阶跃函数§3.4连续时间信号傅立叶变换的性质及其应用

3.4.1线性性质若则3.4.2尺度变换性质意义(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍。

证明见下页尺度变换性质证明综合上述两种情况因为3.4.3奇偶虚实性实际存在的信号都是实信号,虚信号是我们为了数学运算上的方便而引入的。现在研究时间函数与其频谱之间的奇偶虚实关系。由傅立叶变换的定义有根据欧拉公式得设则显然1、是实函数显然

偶函数

此时可见，若是实偶函数，必为的实偶函数。

奇函数

此时可见，若是实奇函数，必为的虚奇函数。

1、是虚函数显然在这种情况下，是奇函数，是偶函数，而仍是偶函数，仍是奇函数。此外，无论是实函数还是复函数，都具有以下性质3.4.4时移特性若

则

证明：因为所以即3.4.5频移特性若

则

证明：令所以同理则

3.4.6对偶性质证明：

将变量t与ω互换，得到则所以3.4.7时域微分特性若

则

证明：已知两边分别对求微分，得交换微分和积分的顺序，可得所以此性质可推广到高阶导数的傅里叶变换3.4.8时域积分特性若

则特别地，当

时，

3.4.9频域微分特性若

，则一般频域微分特性的实用形式为3.4.10频域积分特性，则若3.4.11时域卷积特性，则若两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。时域卷积定理的证明因此所以卷积定义交换积分次序时移性质3.4.12频域卷积特性，则若

两时间函数频谱的卷积等效于两函数的乘积，或者说两个时间信号乘机的频谱等于两个信号频谱函数的卷积乘以。显然时域与频域卷积定理是对称的，这由傅立叶变换的对偶特性所决定。频域卷积定理有时也称为时域相乘定理。

3.4.13帕塞瓦尔定理，则若

它表明周期信号在时域中的功率等于该信号在频域中各分量功率之和，即信号在时域和在频域的功率是守恒的。一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为有限量，因而是一个能量信号。

§3.5周期信号的傅立叶变换由欧拉公式由频移性质3.5.1正弦信号的傅里叶变换同理已知余弦信号的频谱

由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换(用定义)3.5.2一般周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱由无限多个冲激函数组成，各冲激函数位于周期信号的各次谐波处，且冲激强度为的倍tt假设单脉冲信号

是从周期脉冲信号

中提取出的一个周期在

内，

和相同，所以

周期信号的傅里叶级数的系数等于单脉冲信号的傅里叶变换在频率点的值乘以

。所以可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。

§3.6调制与解调3.6.1调制的性质无线电通信系统是利用空间辐射方式把信号从发送端传送到接收端。根据电磁波理论，发射天线尺寸为被发射信号波长的十分之一或更大些，信号才能有效地被发射出去。例如，要发射一个300KH的音频信号（其波长为103km那么就必须要用100km长的天线，实际上这是无法实现的。另外，大气层对音频信号迅速衰减，对较高频率的信号则能传播很远的距离。因此，要通过大气层远距离传送语音信号，就需要用极高频率的载波信号来携带被传送的语音信号，这就是调制。从另一方面讲，如果不进行调制就把被传送的信号直接辐射出去，那么各电台所发出的信号由于频率相同而混在一起，接收端将无法选择要接收的信号。调制作用的实质就是把各种信号的频谱搬移，它们互不重叠地占据不同的频率范围，从而实现在同一信道内同时传送多路信号的多路复用。3.6.2连续时间正弦幅度调制及其应用幅度调制频移性质将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。本地载波，与发送端载波同频同相调制信号载波信号抑制载波调幅调幅解调§3.7线性时不变系统的频域

分析方法则依卷积定理有3.7.1系统的频率响应函数令所以1用微分方程表征的系统对上式两端同时求傅立叶变换，由时域微分性质，可得

所以例已知描述线性时不变系统的常系数微分方程为求系统的频率响应函数。

对方程两端同时求傅立叶变换，可以得到所以2单位冲激响应函数描述的系统

这种情况下先求出系统的单位冲激响应，然后对单位冲激响应求傅里叶变换。

例设某线性时不变系统的单位冲激响应为

求该系统的频率响应函数

根据傅立叶变换的定义有则依卷积定理有3.7.2系统的频域分析令所以例已知系统函数求该系统在激励

下的零状态响应

解：激励的傅立叶变换所以§3.8无失真传输一类是线性失真，它包括两方面。一是振幅失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之间的相对振幅关系发生了变化。二是相位失真：系统对信号中各频率分量产生的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使信号产生新的频率分量。另一类是非线性失真，是由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通过系统后产生了新的频率分量。所谓无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化几点认识：●要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。●相位特性与成正比，是一条过原点的负斜率直线。●不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。例§3.9理想低通滤波器●的低频段内，传输信号无失真()。●为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。

即3.9.1理想低通滤波器的频率特性和冲激响应由对称性可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到同样的结果。激励响应3.9.2理想低通滤波器的阶跃响应1.下限为0；2.奇偶性：奇函数。3.最大值出现在最小值出现在

正弦积分2．阶跃响应的上升时间tr

与网络的截止频率