云南省曲靖市宣威市第二中学2023年高三数学理模拟试卷含解析

云南省曲靖市宣威市第二中学2023年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，若满足，则向量的坐标为（）A．

B．

C.

D．参考答案：D因为,所以;因为,所以,因此,选D

2.已知,则是不等式对任意的恒成立的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.已知，，是圆上不同三点，它们到直线：的距离分别为，，，若，，成等比数列，则公比的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C圆的圆心(1,0),半径r=4,圆心到直线的距离d=5,直线与圆相离,则圆上的点到直线的最大距离为9,最小距离为1,所以当

时,其公比有最大值为.4.已知双曲线的左右焦点分别为，在双曲线右支上存在一点满足且，那么双曲线的离心率是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C

5.若，，则A． B．

C． D．参考答案：C6.已知实数满足，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.已知函数（是自然对数的底数）.若，则的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C8.若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是A.f(x)=2－xB.f(x)=x2C.f(x)=3－xD.f(x)=cosx参考答案：A由A，令g(x)=ex·2－x，g′(x)=ex(2－x+2－xln)=ex2－x(1+ln)＞0，则g(x)在R上单增，f(x)具体M性质。

9.已知函数，且，则的值是（）A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象.关于点对称

.关于点对称

.关于直线对称

.关于直线对称参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设向量a=(3，－1)，b=(1，m)，且(a+2b)a，则|b|=______．参考答案：

12.设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为．参考答案：【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据Q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．【解答】解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1=0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1=0的两个根，由韦达定理得，m2q3=1，m+mq3=a，mq+mq2=b，则故ab=（m+mq3）（mq+mq2）=m2（1+q3）（q+q2）=（1+q3）（q+q2）=+，设t=，则=t2﹣2，因为q∈[，2]，且t=在[，1]上递减，在（1，2]上递增，所以t∈[2，]，则ab=t2+t﹣2=，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=时，ab取到最大值是，所以ab的取值范围是：．【点评】本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．13.已知向，∥，则x=

。参考答案：【知识点】平行向量与共线向量因为，∥，所以，解得，故答案为。【思路点拨】用两向量共线坐标形式的充要条件公式即可．

14.已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，且直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，则向量a与b的夹角为________．参考答案：60°略15.在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC的取值范围是．参考答案：（1，）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．由PA，PB，PC两两互相垂直，得a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2?m2=41﹣2a2，在△ABC中，?1＜m＜．【解答】解：如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．∵PA，PB，PC两两互相垂直，∴a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2?m2=41﹣2a2在△ABC中，?1＜m＜故答案为（1，）【点评】本题考查了空间位置关系，关键是把空间问题转化为平面问题，属于中档题．16.在中，已知，，AB边的中线长，则的面积为

．参考答案：617.如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．因此S的最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求点D到平面PAM的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD可得h的方程，解方程可得．【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC?平面POC，OP?平面POC，∴AD⊥平面POC，又PC?平面POC，∴PC⊥AD．（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，∴△PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD得，又，∴，解得，∴点D到平面PAM的距离为．【点评】本题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．19.（本小题满分12分）已知等差数列{}，公差，前n项和为，,且满足成等比数列.（I）求{}的通项公式；（II）设，求数列的前项和的值.参考答案：（I）由，得成等比数列，，解得：或

…4分

数列的通项公式为.

…6分[来源20.《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．参考答案：解：（1）证明：∵AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos60°，即3＝1+BC2﹣BC，解得BC＝2，∴BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，则△ABC为直角三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于点D，连接BD，由三垂线定理可知，BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△AA1C中，，在Rt△BAD中，，∴，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．21.（本小题14分）已知函数.（1）求函数在上的最大值、最小值；（2）是否存在实数a，使函数的最小值为3，若存在求出a的值，若不存在说明理由。（3）求证：≥N*）参考答案：（1）∵f￠(x)=∴当x?时，f￠(x)>0，∴在上是增函数故，.

……4分（2）假设存在实数，使（）有最小值3，那么

……5分

①当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.

②当时，在上单调递减，在上单调递增，，满足条件.

③当时，在上单调递减，，（去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.……9分（3）∵x>0，∴，当时，不等式显然成立；当≥时，有

≥∴≥N*）……14分22.已知函数(其中常数).（1）求