云南省昆明市高新技术产业开发区第三中学2023年高三数学文测试题含解析

云南省昆明市高新技术产业开发区第三中学2023年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校周四下午第五、六两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第五、六两节课中每节课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有（）种。A、20

B、19 C、16 D、15参考答案：B略2.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选：A．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．3.已知命题：“存在，使得”，则下列说法正确的是（

）A.是假命题；“任意，都有”

B.是真命题；“不存在，使得”C.是真命题；“任意，都有”

D.是假命题；“任意，都有”参考答案：C4.若直线被圆C：截得的弦最短，则直线的方程是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.设{}是公差为一2的等差数列，如果A．40

B．30

C．20

D．10参考答案：C6.已知方程的解为，则下列说法正确的是（

）A．

B.

C.

D.

参考答案：B7.函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），若当x∈（，）时，f（x）=（）x，则fA．﹣ B． C．﹣4 D．4参考答案：A【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），当x∈（，）时，f（x）=（）x，从而f=f（﹣1）=﹣f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∵当x∈（，）时，f（x）=（）x，∴f=f（﹣1）=﹣f（2）=﹣（）2=﹣．故选：A．8.已知满足条件，则的最大值为（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A9.复数的虚部为

（

）

A．－l

B．－i

C．－

D．参考答案：C略10.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（A）[1,3]

(B)[2,]

(C)[2,9]

(D)[,9]参考答案：【解析】本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M，显然，只需要研究过、两种情形。且即答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是

cm3．参考答案：4012.已知球的表面积为，是球面上的三点，点是的中点，，则二面角的正切值为

.

参考答案：13.设z=x+2y，其中实数x，y满足，则z的取值范围是_________。参考答案：

利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的四边形，但目标函数过点（0,0）时，目标函数最小，当目标函数过点时最大值为.14.等差数列中，则该数列前十项的和

．参考答案：15.在边长为2的等边三角形中，，则向量在上的投影为______．参考答案：，为的中点，，，，则向量在上的投影为，故答案为．16.若的展开式中含x3的项为第6项，设（1﹣3x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则a1+a2+…+an的值为

．参考答案：﹣513【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用的展开式的通项，结合含x的项为第6项，确定n的值，再利用赋值法确定系数的和．【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=（﹣1）rCnrx2n﹣3r，∵的展开式中含x3的项为第6项，∴r=5，且2n﹣3r=3，∴n=9，再令x=1，则a0+a1+a2+…+a9=（1﹣3）9=﹣512，令x=0，可得a0=1，∴a1+a2+…+an=﹣512﹣1=﹣513，故答案为：﹣513．【点评】本题考查二项展开式，考查系数和的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．17.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工

．参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数数列{}满足（1）

求（2）

根据（1）猜想数列{}的通项公式，并证明；求证：参考答案：

19.已知函数.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若存在正数a，使得时，，求实数k的取值范围.参考答案：（1）时，f(x)在上递增；时，在上递减，在上递增.（2）或.【分析】（1）求得的导函数，将分成和两种情况，讨论的单调性.（2）将分成、和三种情况，结合（1）中的结论，化简，然后利用构造函数法，结合导数，求得实数的取值范围.【详解】（1）.当时，，在上递增.当时，令解得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增.（2），①当时，在上单调递增，且，所以，所以，即，也即，令，则.因为，，所以，所以，所以在上递增，，所以存在，在上成立.②当时，，由（1）知在上递减，在上递增，所以在上递增，，所以，所以，即，也即.令，则.令，解得，因为，所以，所以在上递减，，不符合.③当时，.因为在上递减，在上递增，存在，时，，所以，要使，只需，即.令，则，令，得.当时，，在上递增，，不成立.当时，，存在，使得在上递减，，成立.综上所述，或.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解不等式成立时参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.20.（本小题满分12分）已知等差数列{}的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列，(Ⅰ)求数列{}的通项公式；(Ⅱ)若数列{}的前n项和为，求证：。参考答案：解：(Ⅰ)由已知，，又成等比数列，由且可解得，，故数列{}的通项公式为；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)，，显然，。略21.（14分）已知函数f（x）=xlnx﹣2x，g（x）=﹣ax2+ax﹣2，（a＞1）．（I）求函数f（x）的单调区间及最小值；（II）证明：f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．参考答案：见解析【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】常规题型；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（I）首先对f（x）求导，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；即可得到单调区间与最值；（II）要证f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立，可令h（x）=f（x）﹣g（x），判断h（x）的单调性即可．【解答】解：（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=xlnx﹣2x，∴f'（x）=lnx+1﹣2=lnx﹣1，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；∴函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），单调递减区间为（0，e）；∴函数f（x）的最小值为f（e）=elne﹣2e=﹣e；证明：（II）令h（x）=f（x）﹣g（x），∵f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）min≥0，x∈[1，+∞）．∵h（x）=xlnx+ax2﹣ax﹣2x+2，∴h'（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，令m（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，x∈[1，+∞），则m'（x）=+2a，∵x＞1，a＞1∴m'（x）＞0∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴m（x）≥m（1）=a﹣1，即h'（x）≥a﹣1，∵a＞1，∴a﹣1＞0，∴h'（x）＞0∴h（x）=xlnx+ax2﹣2x+2在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）﹣g（x）≥0，故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间与最值，以及构造新函数证明恒成立问题，属中等题．

22.小明打算从组和组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛．已知小明选择组动作的概率是选择组动作的概率的3倍，若小明选择组动作并正常发