云南省昆明市第三十中学2021年高三数学文联考试题含解析

云南省昆明市第三十中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件：

①M、N都在函数的图象上；②M、N关于原点对称．

则称点对[M，N]为函数的一对“友好点对”(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)．

已知函数，此函数的“友好点对”有

A．0对

B．1对

C．2对

D．3对参考答案：C2.已知函数的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，则函数的单调增区间为（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：D【分析】由题意得出的解析式，利用三角函数的性质得出其单调增区间可得答案.【详解】解：由题意得：对称中心为，可得b=0，图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，可得，，，可得将代入可得，可得，且，，可得，令，可得，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性及的性质，得出函数的解析式是解题的关键.3.已知向量则等于(

)A．3

B.

C.

D.参考答案：B略4.阅读如图21－5所示的程序框图，输出的结果S的值为()图21－5A．0

B．

C．

D．－参考答案：B5.下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D试题分析：根据奇函数和增函数的定义，结合函数的图象判断即可．对于A，在（-∞，0），（0，+∞）上是增函数，但在定义域上不是增函数，故不正确；对于B，是偶函数，故不正确；对于C在定义域上有增有减，故不正确；对于D，函数的图象如图，可知是奇函数，在定义域上是增函数，故选D．考点：函数奇偶性6.已知为锐角三角形的外心，,且,

则实数的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.某棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该棱锥的体积等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥，所以其体积，故选B.考点：1.三视图;2.多面体的体积.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可．【详解】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形；，几何体的体积为：，故选C【点睛】本题考查由三视图求体积，解决本题的关键是还原该几何体的形状．9.函数在定义域R内可导，若，若则的大小关系是 （

）A． B．

C．

D．参考答案：C10.函数y＝的图象如左下图所示，则导函数的图象可能是（

）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若双曲线的一个焦点为（4，0），则双曲线的渐近线方程为．参考答案：y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程算出c=，结合一个焦点为（4，0）解关于a的方程得a=4，再由双曲线渐近线方程的公式即可求出该双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的方程为，∴c=又∵双曲线的一个焦点为（4，0），∴c=4，即=4，解之得a=4（2舍负）因此双曲线方程为，得a=b=4双曲线的渐近线方程为y=，即y=±x故答案为：y=±x点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知焦点坐标的情况下求双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．12.已知是虚数单位，和都是实数，且，则

参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4

解析：由m（1+i）=7+ni，得m+mi=7+ni，即m=n=7，∴=,故答案为。【思路点拨】直接利用复数相等的条件求得m，n的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．13.若点P（m+1,n-1）在不等式表示的可行域内，则的取值范围是

参考答案：14.集合，，则

.参考答案：{-2}

15.已知函数，则

；参考答案：2018∵，∴，∴，又设，则，∴，∴．16.中，三边成等比数列，，则____________.参考答案：略17.函数的单调递减区间为

参考答案：（0,1]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f(x)=﹣x3+2ax2﹣3a2x（a∈R且a≠0）．（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在（﹣2，f（﹣2））处的切线方程；（2）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（﹣2），f′（﹣2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f′（x）的最小值和最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，，f'（x）=﹣x2﹣4x﹣3，∴，f'（﹣2）=﹣4+8﹣3=1．∴，即所求切线方程为3x﹣3y+8=0．（2）∵f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣a）（x﹣3a）．当a＞0时，由f'（x）＞0，得a＜x＜3a；由f'（x）＜0，得x＜a或x＞3a．∴函数y=f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（﹣∞，a）和（3a，+∞），∵f（3a）=0，，∴当a＞0时，函数y=f（x）的极大值为0，极小值为．（3）f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2，∵f'（x）在区间[2a，2a+2]上单调递减，∴当x=2a时，，当x=2a+2时，．∵不等式|f'（x）|≤3a恒成立，∴解得1≤a≤3，故a的取值范围是[1，3]．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a，b即可．（2）设直线l的方程，A，B，P坐标，|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．|AB|==．=≥．即可求得椭圆C率心率e的取值范围【解答】解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆的标准方程为=1．（2）设直线l的方程为：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．P（）|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．∴y1+y2=﹣，y1?y2=，∴|AB|==．∴=≥．令，?b2t2﹣2cbt+c2≥0，上式在t≥1时恒成立，∴椭圆C率心率e的取值范围为（0，1）20.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（2，2），倾斜角．（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求弦|AB|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】（1）由圆C的参数方程可得其标准方程，然后求解直线l的参数方程．（2）设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，利用直线的参数方程的几何意义求解即可．【解答】解：（1）由圆C的参数方程可得其标准方程为x2+y2=16．因为直线l过点P（2，2），倾斜角，所以直线l的参数方程为即（t为参数）．（2）把直线l的参数方程代入圆C：x2+y2=16中，得，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，所以，所以|AB|=|t1﹣t2|==2．【点评】本题考查极坐标与直线的参数方程的应用，考查计算能力．21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其图象过点（，）．（1）的值；（2）函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0,]上的最大值和最小值．

参考答案：解：（1）由，得∴，于是（2）由，得又∵，∴由得：所以

略22.(本小题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中的值；（2）根据频率分布