椭圆 测试卷-高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1椭圆测试卷一、单选题1．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（）A．2 B．－2 C． D．43．已知椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为，则（

）A． B． C． D．4．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（

）A． B．C． D．5．若m，，且则“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．若椭圆和椭圆的焦点相同且．给出如下四个结论：①椭圆与椭圆一定没有公共点；②；③；④其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④7．在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角为某一范围内变动，，则该双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（

）A． B． C． D．10．设P是椭圆上的动点，则（

）A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为C．点P到左焦点距离的最大值为D．点P到左焦点距离的最大值为11．如图，一缕阳光从圆形的窗孔射入，在水平地面上形成椭圆形光斑（轮廓为椭圆），若光线与水平地面所成的角为，则下列是说法正确的是（

）A．椭圆的离心率B．椭圆的离心率C．椭圆的离心率随的增大而减小D．椭圆的离心率随的增大而增大12．椭圆离心率为称为“黄金椭圆”.如图，分别为左右顶点，为上下顶点，分别为左右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（

）A．B．C．四边形的内切圆过焦点D．轴，且三、填空题13．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.写出一个焦点在轴上，对称中心为坐标原点的“黄金椭圆”的标准方程__________.14．椭圆的长轴长为__________．15．已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则__________.16．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.四、解答题17．求以坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（，）的椭圆的标准方程.18．若直线与椭圆总有公共点，求实数m的取值范围．19．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若，求k的值．20．已知，分别是椭圆（，）的左右两个焦点，为椭圆上任意一点，(1)若，的最大值为12，求的值；(2)若，直线与椭圆相交于两个不同的点，且（为坐标原点），求椭圆的方程.21．已知椭圆经过点和.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，求证：以为直径的圆经过点.22．设椭圆Γ：的左、右焦点分别为．直线l若与椭圆Γ只有一个公共点P，则称直线l为椭圆Γ的切线，P为切点．(1)若直线l：y＝x+2与椭圆相切，求椭圆的焦距；(2)求证：椭圆Γ上切点为的切线方程为；(3)记到直线l的距离为，到直线l的距离为，判断“”是“直线l与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由．参考答案1．A【分析】利用椭圆的定义求出，然后在中利用余弦定理即可求解.【详解】由椭圆的定义可知：，因为，所以，在中，由余弦定理可得：，化简整理可得：，所以，故选：.2．C【分析】先将椭圆方程化为标准形式，再根据椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍求解.【详解】将椭圆化为标准形式为，因为椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以，解得，故选：C．3．A【分析】由椭圆方程得到的坐标，再结合斜率公式即可求解【详解】由题意知．设，则，为椭圆上一点，，即，即．故选：A4．C【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.【详解】令，可得；令，可得.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.因为，所以椭圆的焦点在轴上.设椭圆的方程为，则，，所以椭圆的方程为.故选：C.5．B【分析】由可得：，由方程表示焦点在y轴上的椭圆可得：，然后根据充分、必要条件的概念即可判断.【详解】由可得：，又因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，由不一定能推出，但由一定能推出，所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：.6．B【分析】对①，联立两椭圆方程求解即可判断；对②，由可得，即可变形判断；对③，，即可变形判断；对④，由，即可变形判断.【详解】对①，联立两椭圆方程得，则，由两椭圆焦点相同得，又，∴，即，∴，方程无实数根，故椭圆与椭圆一定没有公共点，①对；对②，由①得，则，∴，②错；对③，由，③对；对④，由③得，则，∴，④对.故选：B7．C【分析】由题可知双曲线的渐进线方程倾斜角的范围是，进而得到的范围，再根据离心率公式和的关系可求得范围.【详解】双曲线的渐近线为，由题可知双曲线的渐进线方程倾斜角的范围是，，，即，故选：C8．B【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，故，又，则，由余弦定理知：，所以，而，因为的内切圆的半径，故，所以，则，由，即，所以，整理得且，所以，，当且仅当时等号成立，所以目标式最小值为.故选：B9．BD【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，又，所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，故选：BD10．AC【分析】利用椭圆的定义可判断A，B选项，离左焦点距离最远的点为右顶点，可判断C,D选项【详解】由题意得，，由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故A正确，B错误；又，所以，即，到左焦点距离的最大值为，故选：AC11．BC【分析】可由题意做出平面图，利用投影关系，分别对应出椭圆的长轴和短轴，利用椭圆结合夹角即可做出判断.【详解】可根据题意做出平面图，如图所示，窗孔的圆心为，圆心在水平面的投影即椭圆的中心为，光线与水平面的交点为，光线与水平地面所成的角为，连接，过作的垂线交于交于，由题意可知，窗孔在平面内的投影椭圆，故为椭圆的长轴长，即，为椭圆的短轴长，即，所以，，故，而，故椭圆的离心率，所以选项A错误，选项B正确；，，因为在是单调递减的，所以椭圆的离心率随的增大而减小，故选项C正确，选项D错误.故选：BC12．BC【分析】根据各选项条件列出含有，，的齐次方程，再根据离心率及得到含离心率的方程，解出各选项的离心率即可判断是否为“黄金椭圆”.【详解】对于A，根据题意得，，，因为，所以，即，又因为，所以，解得或(舍)，所以选项A不能使椭圆为“黄金椭圆”；对于B，根据题意得，，，因为，所以，即，所以，又因为，所以，解得或(舍)，所以选项B能使椭圆为“黄金椭圆”；对于C，因为四边形的内切圆过焦点，所以利用对称的性质可得四边形的内切圆的圆心为半径为，记四边形的面积为，故四边形可分成四个全等的三角形根据面积相等法可得，因为，所以原式化简得，又因为，所以，解得或(舍)，又因为，所以，所以选项C能使椭圆为“黄金椭圆”；对于D，轴，且，可得，因为轴，所以，代入中，解得(负值舍去)，所以，根据，得，解得，又因为，，所以，所以选项D不能使椭圆为“黄金椭圆”.故选：BC.13．（答案不唯一）【分析】由题可设，根据离心率结合条件即得.【详解】由题可设，令，由题可知，所以，，所以“黄金椭圆”的标准方程可为.故答案为：.14．4【分析】根据椭圆方程转化为标准方程确定，即可得长轴长.【详解】解：椭圆，化为标准方程为，则，即所以椭圆的长轴长为.故答案为：4.15．##【分析】由已知，根据题意画出示意图，分别设出点P、A，B坐标，并表示出直线、直线的斜率，根据已知的离心率得到，再根据，结合已知得到，然后利用正切和差公式可直接求解.【详解】由已知，椭圆的左，右顶点分别为A，B，如图所示，椭圆C的离心率为，所以，设点在轴上方，点，，，因为点在椭圆上，所以，所以为直线的倾斜角，为直线的倾斜角，则，，而，所以，所以.故答案为：.16．4【分析】先由，判断出，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得焦距.【详解】由题意得，，设，.连接，由，，可知，，，在以为直径的圆上，且，又原点为圆的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，所以，因为，所以，所以，当时，则0，若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾，所以，所以，故圆的圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，又，所以，故椭圆的焦距为.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：“，，”的化简､转化，由此得到，，，在以为直径的圆上以及该圆的方程.17．.【分析】设椭圆方程，根据点在椭圆上列方程组求出椭圆参数，进而得到椭圆标准方程.【详解】令椭圆方程为，所以，可得，故椭圆的标准方程为.18．【分析】先根据直线方程可知直线恒过点，要使直线与椭圆恒有公共点，需在椭圆上或椭圆内，注意椭圆的参数范围，进而求得的范围．【详解】解：直线恒过点，由直线与椭圆恒有公共点，所以在椭圆上或椭圆内，∴，∴，又∵椭圆，∴且．∴实数的取值范围是．19．(1)；(2).【分析】（1）由题意结合几何关系可求得，.则椭圆的方程为；（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，解出，或.经检验的值为.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．又，所以，，所以，椭圆的方程为．（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为．因为，所以有，，，所以，即．易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．当时，由可得，，不合题意，舍去；当时，由可得，，.所以，.20．(1)或(2)【分析】(1)由可得椭圆方程为：，结合焦点三角形面积的最大值得出，然后解方程组即可求解；(2)当，联立方程组，根据得到，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）由，则椭圆方程为：，由的最大值为12，则，即解得或所以或.（2）若，联立方程组消去得设，，则，解得：或由可知，所以，解得所以椭圆的方程为.21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得所以，，解得，进而可得椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆的方程可得关于的一元二次方程，设，，，，由韦达定理得，，由点到直线的距离公式可得原点到直线的距离，解得，计算为0，即可得出结论．【详解】（1）解：因为椭圆经过点，所以，又因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）证明：设,，,，由，可得，由题意，，即，所以，，因为原点到直线的距离为，所以，即，因为，所以．因此以为直径的圆过原点．22．(1)；(2)证明见解析；(3)答案见解析.【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，消元，根据题意可得，求得a2即可得解.（2）分和两种情况讨论，当时，判断方程组有两个相同实数解作答.（3）根据（2）分别求出，，计算即可，再分和结合充分条件和必要条件的定义推理作答．【详解】（1）由消去y并整理得，因为直线l：y＝x+2与椭圆相切，于是得，解得，令椭圆半焦距为c，有，所以椭圆的焦距.（2）当时，，显然直线与椭圆相切，当时，由消去y并整理得：，又，则，即，因此，即直线l与椭圆Γ只有一个公共点，直线l与椭圆Γ相