平面向量的概念一课一练 -高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.1平面向量的概念1.[2022·湖北鄂州高一期中]下列关于零向量的说法正确的是()A．零向量没有大小B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线2．[2022·天津河北区高一期中]在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A．eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线B．eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线C．eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))相等D．eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))相等3．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点中选2个点作为向量的始点和终点，则其中：与向量eq\o(BC,\s\up6(→))相反的单位向量共有________个，模长为eq\r(3)的向量共有________个．4．如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则(1)与eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有多少个？(2)与eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量．5.(多选)[2022·安徽合肥六中高一期末]如下四个命题中，说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量D．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上6．[2022·广东揭阳高一期末]设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()A．a0＝b0B．a0＝－b0C．a0∥b0D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a0))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b0))＝27．[2022·山东菏泽高一期中]已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________．8．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝3，点A在点O北偏西45°方向；(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))＝2eq\r(2)，点B在点O正南方向．9.如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△ABC的边长为a，写出图中给出的长度为eq\f(a,3)的所有向量中，(1)与向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量；(2)与向量eq\o(GH,\s\up6(→))共线的向量；(3)与向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行的向量．10．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．(1)试作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→)))).11.[2022·浙江丽水高一期末]若a，b为非零向量，则“eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＝eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))”是“a，b共线”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD、BC的中点，如图．(1)写出与向量eq\o(FC,\s\up6(→))共线的向量；(2)求证：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→)).答案：1．解析：根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选D.答案：D2．解析：因为AB与AC不平行，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，A错；因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线，B正确；因为AD与AE不平行，所以eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))不相等，C错；因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(BD,\s\up6(→))，则D错．故选B.答案：B3．解析：如图所示，其中与eq\o(BC,\s\up6(→))相反的单位向量有eq\o(DA,\s\up6(→))，C1B1，D1A1，共3个；∵正方体棱长为1，∴正方体体对角线长为eq\r(3)，∴模长为eq\r(3)的向量有BD1，D1B，AC1，C1A，A1C，CA1，B1D，DB1，共8个．答案：384．解析：(1)在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，所以AO＝OC，且AB∥DC，所以与eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))三个向量．(2)与eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等且方向相反的向量为eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→)).(3)与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→)).5．解析：向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，选项C显然错误，选项D，也有可能直线AB与直线CD平行．故选AB.答案：AB6．解析：单位向量的模长为1，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a0))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b0))＝2，D正确，题中a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，故A，B，C错误，故选D.答案：D7．解析：向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，则向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同或相反；向量m与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则向量m与向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同或相反，又由A、B、C是不共线的三点，可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同且不共线，则m＝0.答案：08．解析：(1)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：(2)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))＝2eq\r(2)＝eq\r(22＋22)，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径画圆，圆弧与OR的交点即为B点．9．解析：(1)与向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量，即与向量eq\o(GH,\s\up6(→))大小相等，方向相同的向量，有eq\o(HC,\s\up6(→))，eq\o(LB,\s\up6(→))′；(2)与向量eq\o(GH,\s\up6(→))共线的向量，即与向量eq\o(GH,\s\up6(→))方向相同或相反的向量，有eq\o(HC,\s\up6(→))，eq\o(LB,\s\up6(→))′，eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(LE,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))′；(3)与向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行的向量，即与向量eq\o(EA,\s\up6(→))方向相同或相反的向量，有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(HA,\s\up6(→))′，eq\o(HK,\s\up6(→))，eq\o(KB,\s\up6(→))′.10．解析：(1)建立如图所示的直角坐标系，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))即为所求．(2)根据题意，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，故ABCD为平行四边形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝400(海里).11．解析：依题意a，b为非零向量，eq\f(a,a)表示与a同向的单位向量，eq\f(b,b)表示与b同向的单位向量，由eq\f(a,a)＝eq\f(b,b)可得a与b共线且同向，所以充分性成立；a，b共线可能同向共线、也可能反向共线，所以a，b共线得不出eq\f(a,a)＝eq\f(b,b)，所以必要性不成立．故选B.答案：B12．解析：(1)据题意，与向量eq\o(FC,\s\up6(→))共线的向量为：eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(