七年级上培优专题-整体思想求值附答案

七年级上培优专题一整体思想求值（附答案）题型切片题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1整式加减的化简求值例2；练习1化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2整体思想之整体化简例4；练习3整体思想之代入求值例5：练习4整体思想之构造整体例6；练习5整体思想之赋值例7；练习6思路导航整式加减的实质：⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项.整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法：⑴由内向外逐层进行；⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号.利用同类项求未知数的值【例1】⑴若-7xm+2y与-3x3yn是同类项，则m=(2)若5x3yn-8xmy2=-3x3y2，贝°m2-n2=整式加减的化简求值整式加减的化简求值【例2】【例2】⑴化简：①3x2-②(3xy+10y)+[5x-(2xy+2y-3x)]⑵化简求值：：(x2-4x+4)4-1+x-三x2⑶已知：(x⑶已知：(x+2)2+|y-1|=0，求52一2x2y+32一(4xy2-2x2y的值.化简并说明结果与字母取值无关【例3】⑴当k=(a2-3ab-3b)-3Ca2-2ab+2b)的时，代数式x【例3】⑴当k=(a2-3ab-3b)-3Ca2-2ab+2b)的⑵有这样一道题“当a=2,b=-2时，求多项式2值”，马小虎做题时把a=2错抄成a=-2时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.思路导航整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理.整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用.整体思想之整式加减运算整体思想之整式加减运算【例4】⑴计算5(a-b)+2(b-a)-3(a-b)=.⑵化简：x2+(x-2)2-(2-x)2+(x-1)3+(1-x)3=.⑶化简：43(2x-3y)+30(3y-2x)-12(2x-3y-120)+573=

整体思想之代入求值【例5】⑴已知代数式a-b等于3,则代数式(a-b)2-5(a-b)的值为.⑵已知代数式3y2-2y+6的值为8，那么代数式6山-4y+1的值为.⑶若12-3%-2的值为3,则2-3%2+9%的值为.4 ⑷已知代数式3%2-4%+6的值为9,则代数式％2-—%+6的值为.3⑸已知=3，求代数式工--纥2b-5的值.a-2b a-2bc3整体思想之构造整体整体思想之构造整体【例6】⑴如果a2+2ab=5,ab+2b2=-2，贝Ua2-4b2=.⑵己知：a—b=2,b—c=-3,c-d=5,求(a-c)⑵己知：a—b=2,b—c=-3,整体思想之赋值【例7【例7】⑴已知代数式*2(a5+bx3+-),X4+dx2当X=1时，值为1，求该代数式当x=-1时的值.⑵已知代数式ax4+bx3+cx2+dx+3，当x=2时它的值为20；当x=-2时它的值为16,求x=2时，代数式ax4+cx2+3的值.【选讲题】【例8】李明在计算一个多项式减去2%2—4%+5时，误认为加上此式，计算出错误结果为-2x2+x-1,试求出正确答案.【例9】设(2%-1)5=0X5++C%3+d%2+e%+/,求：/的值；q+Z?+c+d+e+/的值；a-b+c-d+e-fa+c+e的值.思维拓展训练(选讲)训练1.已知：m,n互为倒数，且m+n+2009=0，求(m2+2010m+1)(2+2010n+1)的值.x2Cw+bx3+cx)%4+dx2+e训练2.已知M= 5，当x=-4时，M=5，那么当%4+dx2+e训练3.已矢口(x2 -x+1)6 =a x12 +a x11 +a x10 +…+a x2 +ax+a,求a+a+a+…+a+a的值。 12 11 10 2 1 ° 12 10 8 2 0训练4.已知有理数a和b满足多项式A=(a-1)x5+xb+2-2x2+bx+b是关于x的二次三项式.当x<-7时，化简：|x-a|+|x-b|复习巩固利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值2ab并【练习1】已知3%5+ay4与-5%3yb+i是同类项，化简代数式-2(ab-3a2)-[a2-5(ab-a2)2ab并化简并说明结果与字母取值无关【练习2】化简并说明结果与字母取值无关【练习2】有这样一道题：“计算(2%3-3%2y-2%y2)-(%3一2%y2+y3)+(-%3+3%2y-y3)的值”，其中“%=2013,y=-1”.甲同学把“％=2013”错抄成了“%=-2013”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】把(a-b)当作一个整体，合并2(a-b)2-5(b-a)2+(a-b)2的结果是( )A. (a- b)2 B. -(a- b)2 C. -2(a-b)2 D. 0整体思想之代入求值【练习4】⑴如果a-3b=6，那么代数式5-a+3b的值是.⑵已知%-y=5，代数式%-2-y的值是.⑶已知-%+2y=4，则代数式5(%-2y)2-6y+3%-60的值为.⑷若％2+3%的值为2,则3%2+9%-6的值为.(5)若3a2-a-2=0，贝U5+2a-6a2=.整体思想之构造整体【练习5】如果x2+6xy=16,y2—4xy=—12，贝Ux2+2xy+y2的值为整体思想之赋值【练习6]⑴已知当x=—2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x=2时，代数式ax3+bx+1的值是多少？⑵若y=ax5+bx3+ax—3,当x=—2时，y=10，贝Ux=2时，y=数学史是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。德摩根于1823至1827年间入读剑桥大学三一学院，1828年，他的老师如皮科克等人，推燃他任伦敦大学学院数学教授一职，至1831年辞职，1836至1866年则继续留任该职。1865年，他积极筹备伦敦数学会，1866年担任任第一任会长。德摩根主要分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面作出重要的贡献。他的工作，对当时19世纪的数学具有相当的影响力。在代数学方面，他认为：「代数学实际上是一系列『运算』，这种『运'算』能在任何符号（不一定是数字）的集合上，根据一定的公式来进行」。他这种新的数学思想，使代数得以脱离算术的束缚。此外，他提出的「双重代数」，对建立复数性质的几何表示有一定的帮助。德.摩根对数学史亦十分精通，曾为牛顿及哈雷作传，并制作了17世纪科学家的通讯录索引。此外，他在算术、代数、三角等方面亦撰写了不少教材，主要著作有《微积分学》（1842）及《形式逻辑》（1847）等。他亦是最早试图解决四色问题的人，并对四色问题作了一些推进。数学活动试一试：任意想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1.你能说明其中的道理吗？)n)n=_利用同类项求未知数的值【例10] ⑴若-7xm+2y与-3x3yn是同类项，则m=(2)若5x3yn-8xmy2=-3x3y2，则°m2-n2=【解析】⑴1,1；⑵5；整式加减的化简求值【例11] ⑴化简：①3x2-x2-2(3x-x2，=；②(3xy+10y)+[5x-(2xy+2y-3x)]=-4x+4)-4-1+x-⑶已知：(x+⑶已知：(x+2)2+|y-1|=0求5xy2-2x2y+3xy2-(4xy2-2x2y1的值.【解析】⑴①6x，②xy+8x+8y；⑵1(8⑵1(8x2-4x+4)-4-1+x-4 I⑶解：原式=4xy21-x24(x+2)2+|y-1|=0・，♦x=-2,y=1将x=-2,y=1代入可得原式=4x(-2)x12=-8.化简并说明结果与字母取值无关【例12] ⑴当k=时，代数式x6-5kx4y3-4x6+5x4y3+10中不含【例12] ⑴当k=⑵有这样一道题“当a=2,b=-2时，求多项式2(a2-3ab-3b)-3(-a2-2ab+2b)的值”，马小虎做题时把a=2错抄成a=-2时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.【解析】⑴—25⑵因为原式【解析】⑴—25⑵因为原式2(a2—3ab一2b)=5a2-12b,化简的结果中含a2,无论a=2还是错抄成a=-2,a2都等于4,最后结果都一样.针对例3(1)进行拓展1.已知多项式A和B,A=(5m+1)x2+(3n+2)xy-3x+y,B=6x2+5xy-2x-1,当A与B的差不含二次项时，求(-1)"+n--m+n-(-n)m的值.【解析】A-B=(5m+1)x2+(3n+2)xy-3x+y-(6x2+5xy-2x-1)=(5m-5)12+(3n-3)xy-x+y+1.丁A与B的差不含二次项，・•・5m-5=0,3n-3=0./.m=1,n=1.原式=(-1)m+n-T-m+n-(一n>m]=(-1)2・[一1+1-(-1)3]=1.2.已知A=2a2+2b2-3c2+2,B=3a2-b2-2c2-1,C=c2+2a2-3b2+3,⑴当b,c取不同的数值时，A-B+C的值是否发生变化？并说明理由.⑵A-B+C的取值是正数还是负数？若是正数，求出最小值；若是负数，求出最大值【解析】⑴；A—B+C=2a2+2b2-3c2+2-(3a2-b2-2c2-1)+c2+2a2-3b2+3=a2+6A-B+C的值与b,c的值无关.即当b,c取不同的数值时，A-B+C的值不发生变化.⑵由⑴可知，A-B+C的值为正数，且最小值是6.思路导航整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理.整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用.【例13] ⑴计算5(a-b)+2(b-a)-3(a-b)=.⑵化简：x2+(x-2)2-(2-x)2+(x-1)3+(1-x)3=.⑶化简：43(2x-3y)+30(3y-2x)-12(2x-3y-120)+573=【解析】⑴0；⑵x2；⑶2x-3y+2013.【例14] ⑴已知代数式a-b等于3,则代数式(a-b)2-5(a-b)的值为.⑵已知代数式3y2-2y+6的值为8，那么代数式6y2-4y+1的值为.⑶若x2-3x-2的值为3,则2-3x2+9x的值为.4 ⑷已知代数式3x2-4x+6的值为9,则代数式x2——x+6的值为.3⑸已知=3，求代数式3--a-2b-5的值.a-2b a-2b c3【解析】⑴-6；⑵5；⑶-13；⑷7；⑸4.整体思想之构造整体【例15]⑴如果a2+2ab=5,ab+2b2=-2，则a2_4b2=.⑵己知：a-b=2,b-c=-3,c-d=5，求(a-c)x(b-d)x(c-b)的值.【解析】⑴a2-4b2=(a2+2ab)-2(ab+2b2)=5-2x(-2)=9.⑵a-c=-1,c-b=3,b-d=2,(-1)x2x3=-6.整体思想之赋值【例16]⑴已知代数式*2(ax+b3+cx)，当x=1时，值为1,求该代数式当x=-1时的值.x4+dx2⑵已知代数式ax4+bx3+cx2+dx+3，当x=2时它的值为20；当x=-2时它的值为16，求x=2时，代数式ax4+cx2+3的值.【解析】⑴当x=1时，x2((^5+b3+cx)=a+b+c=1；x4+dx2 1+d当x=1时x2(ax5+bx3+cx)-a-b-c-(a+b+c) ]' x4+dx2 1+d1+d⑵当x=2时，ax4+bx3+cx2+dx+3=16a+8b+4c+2d+3,A16a+8b+4c+2d+3=20.A16a+8b+4c+2d=17.①当x=-2时，ax4+bx3+cx2+dx+3=16a-8b+4c-2d+3.A16a-8b+4c-2d+3=16.A16a-8b+4c-2d=13.②A①+②得：32a+8c=30,当x=2时，A16a+当x=2时，ax4+cx2+3=16a+4c+3=15+3=18.【选讲题】【例17】 李明在计算一个多项式减去2%2—4%+5时，误认为加上此式，计算出错误结果为-2X2+X-1,试求出正确答案.【解析】—6x2+9%—11.【例18】设(2%-1)5=以5+bx4+CX3+dx2+ex+f,求：/的值；q+Z?+c+d+e+/的值；q-Z?+c-d+e-/的值；a+c+e的值.【解析】⑴令％=0代入已知等式，得了=-1;(2)》寻％=1代入已知等式，得q+A+c+d+e+/=1;(3)》寻％=—1代入已知等式，得一a+A—c+d—e+/=(—3)5=—243所以q-Z?+c-d+e-/=243;(4)由q+Z?+c+d+e+/=l,a—b+c—d+e—f=243,两式相力口得：2(«+c+e)=244所以a+c+e=122.+2010+2010n+1)的值.（三帆期中）思维拓展训练（选讲）训练5.已知：m,n互为倒数，且m+n+2009=0，求（m2+2010m+・•.m+n=-2009+2010m+・•.m+n=-2009+2010m+mn)•(n14+dx2+e【解析】x=-4时，M=(-41](-4>a+(-41b+(-4)c42(45a+43b+4c)故 =-10,44+42d+e(-4>+(-4)2d+e-42(45a+43b+4c) 5=544+42d+e42(45a+43b+4c)x=4时，M= 5=-1544+42d+e【解析】丁m,n互为倒数，2+2010n+mn)=m(m+n+2010)-n(n+m+2010)=mn=1x2(axx55+bx3+cx)训练6.已知M= 5，当x=-4时，M=5，那么当x=4时，M=+ax10+…+ax2+ax+a,求a.+a+a+…+ax10+…+ax2+ax+a,求a.+a+a+…+a+a的值. 12 11【解析】将x=1代入已知等式，得a+a_+a+ +a+a.+a=1;将x=-1代入已知等式，得a-a+a-a+ +a-a+a=729;12 11 10 9 2 1 0所以a+a.+a+ +a+a=365.训练8.已知有理数a和b满足多项式A=(a-1)x5+xb+2-2x2+bx+b是关于x的二次三项式.当x<-7时，化简：|x-a|+|x-b|(人大附中期中)【解析】*/A=(a-1)x5+xb+2-2x2+bx+b是关于x的二次三项式ra-1=0 ra-1=0 ra-1=0 fa-1=-1・♦・% 1 ①或八।②或七। ③或|a1 ④1|b+2|=2 ]|b+2|=1 Jb+2|=0 ]|b+2|=5由①解得[a=1或卜=1,[b=0 1b=-4

由②解得（:::或]::二由③解得]a：:由④解得｛由④解得｛::0a：0b：—7Ia:1当1 时，代人可得A：—X2不是二次三项式，故不符合条件，应该舍掉;Ib00Ia：1 Ia：1当1 时，代人可得A：—X2—4X—4是二次三项式，符合条件，...I.[b：—4 [b——4Ia:1当1 时，代人可得A——2x2—1不是二次三项式，故不符合条件，应舍掉;b——1当1a：1时，代人可得A——2x2—2x—3是二次三项式，符合条件.•・]"：1Ib——3 Ib——3Ia1 Ia1当1时，代人可得A——2x2—2x—1是二次三项式，符合条件.IIb——2 Ib——2a:0时，代人可得A——2x2+3x+3是二次三项式，符合条件b:3TOC\o"1-5"\h\z当]a:0时，代人可得A——2x2—7x—7是二次三项式，符合条件・•・]a:0

Ib —7 Ib—7•.|x — a| + |x — b| 二 |x—1|+|x+ 4|或|x — a| + |x — b| = |x—1|+|x+ 3|或|x — a| + |x — b| = |x—1|+|x+ 2|或|x — a| + |x — b| = |x|+|x—3|或|x — a| + |x — b| = |x|+|x+71, ,Ix—1<0Ix—1<0Ix—1<0当x<—7时，1 ,1 ,1 ,[x+4<0 1x+3<0 1x+2<0故|x—1|+|x+4|=1—x—x—4=—2x—3或|x—1|+|x+3|=1—x—x—3=—2x—2或|x—1|+|x+2|—1—x—x—2——2x—1或|x|+|x—3|=—x+3—x——2x+3或|