极坐标与参数方程数学讲义

极坐标与参数方程一、考纲领求1.理解参数方程的观点，认识某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与一般方程的互化方法.会依据所给出的参数，依据条件建立参数方程.理解极坐标的观点.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会依据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.二、知识结构1.参数方程的观点在平面直角坐标系中，若是曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数xf(t),M(x,y)都在这条曲线上，y而且关于t的每一个同意值，由这个方程所确立的点g(t),参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。那么这个方程就叫做这条曲线的相关于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程。常有的曲线的参数方程直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是xx0tcosa为参数，其几何意义是PM的数目)(tyy0tsina．．．．．．．．．．(2)一般式过定点P(xb的直线的参数方程是000axx0at1yy0(t为参数，t)②bttan圆锥曲线的参数方程xarcos(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是ybrsin

(φ是参数)椭圆x2y2xacos(2)椭圆1(a＞b＞0)的参数方程是ybsina2b2椭圆y2y21(a＞b＞0)的参数方程是xbcosa2b2yasin

(φ为参数)(φ为参数)(3)抛物线抛物线y22px的参数方程为x2pt2t为参数y2pt极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(平时取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，组成了极坐标系的四因素，优选缺一不行.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.注意：①点P(,)与点P1(,)关于极点中心对称；②点P(,)与点P2(,)是同一个点；③若是规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确立的。④极坐标与直角坐标的不同样是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不唯一的．P(，)（极点除外）的所有坐标为(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．圆的极坐标方程①以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是a；②以(a,0)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2acos；③以(a,)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin；2直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是(0)和(0).②过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cosa.化为直角坐标方程为xa.③过点A(a,)且平行于极轴的直线l的极坐标方程是sina.化为直角坐标方程为2ya.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取同样的长度单位.(2)互化公式．．．．xcos2x2y2yθ的象限由点(x,y)所在的象限确立ysin'tgx(x0)三、课前预习1．直线y2x1的参数方程是（）A、xt2（t为参数）B、x2t1（t为参数）y2t21y4t1优选C、xt1（t为参数）D、xsin（t为参数）y2t1y2sin1答案：C2．已知M5,，以下所给出的不能够表示点的坐标的是()3A、5,B、5,4C、5,2D、53335,3答案：A3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是（）A、(1,)B、(1,)C、(1,0)D、(1，)22解：将极坐标方程化为一般方程得：x2y22y0，圆心的坐标为(0,1)，其极坐标为(1,3)，选B24．点P1,3，则它的极坐标是()A、2,3B、2,4C、2,3D、2,433答案：C5．直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在x3cos为参数）和曲线C2:1上，则AB的最小值为()曲线C:（1ysinA、1B、2C、3D、4答案：Ax16．参数方程为tt(t为参数)表示的曲线是（）y2A、一条直线B、两条直线C、一条射线D、两条射线答案：D7．若直线x12t垂直，则常数为参数与直线（）y2t4xky1k3tA、-6B、1C、6D、166优选答案：A8．极坐标方程4cos化为直角坐标方程是( )A、(x2)2y24B、x2y24C、x2(y2)24D、(x1)2(y1)24答案：Ax12t9．曲线24sin(x)与曲线22的地址关系是（）412yt22A、订交过圆心B、订交C、相切D、相离答案：D10．曲线的参数方程为x3t22是参数)，则曲线是（）yt2(t1A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线答案：D11．在极坐标系中，圆2上的点到直线cos3sin6的距离的最小值是.答案：112．圆C：x=1+cosθx=22+3t(θ为参数)的圆心到直线l：y=sinθy=13t

(t为参数)的距离为。答案：213x(0≤)和x42(tR)，它们．已知两曲线参数方程分别为5cos5tysinyt的交点坐标为___________．答案：(1,25)．514．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，已知曲线C1、C2的极坐标方程分优选别为0,x2cos，曲线C3的参数方程为（为参数，且3y2sin曲线C1、C2、C3所围成的封闭图形的面积是.答案：23四、典例解析考向一极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化相关知识点：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位同样.

），则22xcos2x2y2互化公式：或y(xysintan0)x【例1】（1）点M的极坐标分别是(2,)，(4,)，(6,2)，(2,3)234换算成直角坐标挨次是，，，（2）点M的直角坐标分别是(2,0)，(0,2)，(2,2)，(3,1)若是0,02换算成极坐标挨次是，，，【例2】在极坐标系中，过圆4cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．解析：由4cos得24cos．所以x2y24x，2)2y24圆心坐标(2,0)(x过圆心的直线的直角坐标方程为x2．直线的极坐标方程为cos2。【变式1】在极坐标系中，圆心在(2，)且过极点的圆的方程为（B）A、22cosB、22cosC、22sinD、22sin解析：圆心在(2，)即指的是直角坐标系中的(2，0)圆的直角坐标方程：(x2)2y22。圆的极坐标方程为22cos【变式2】已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos3,4cos（0,02），则曲线C1与C2交点的极坐标为_____.2)2y2解:曲线C1,C2的直角坐标方程分别为x3,(x4,且y0，两曲线交点的直角坐标为（3，3）.所以，交点的极坐标为23,6【变式3】在极坐标系中，已知点A（1，3）和B(2,),则A、B两点间的距离44是．解:如下列图,在△OAB中，|OA|4,|OB|5,75AOB361OAOBsin6SAOBAOB52评论:本题考察极坐标及三角形面积公式，数形结合是重点。考向二曲线的参数方程，参数方程与一般方程的互化优选xcos1.【例3】（1）曲线:(为参数)的一般方程为(C)sin1yA、(x1)2(y1)21B、C、(x1)2(y1)21D、x1t（2）参数方程t表示的曲线是（）y1tt

(x1)2(y1)21(x1)2(y1)21A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、圆答案：B【变式1】已知抛物线C的参数方程为x8t2,1的直线经过抛物线y8t.（t为参数）若斜率为C的焦点，且与圆x42r2(r0)相切，则r=________。y2答案：2解：抛物线的标准方程为y28x，它的焦点坐标是F(2,0)，所以直线的方程是yx2，圆心到直线的距离为2【变式2】若直线3x4ymx1cos（为参数）没有公共点，0与圆2siny则实数m的取值范围是(,0)(10,).【变式3】直线x2t(t为参数)被圆(x3)2(y1)225所截得的弦长为（）y1t、98B、1C、82D、93434分析:x2txy10，Q(x3)2(y1)225得圆心到直线的距离y1t3113，弦长=2r2d282d22【例4】已知点P(x,y)是圆x2y22y上的动点，求2xy的取值范围。解：设圆的参数方程为xcos，2xy2cossin15sin()1y1sin512xy51优选小结：①设动点的坐标为参数方程形式；②将含参数的坐标代人所求代数式或距离公式；③利用三角性质及变换公式求解最值.【变式5】在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x2y21上的一个动点，求Sxy的最大值．3解：因椭圆x2y21的参数方程为x3cos(为参数），故可设动点P的坐标为3ysin(3cos,sin），此中02.所以Sxy3cossin2(3cos1sin)2sin(3)。所以,当是，S取最大值2。226【题后反思】1.化参数方程为一般方程的基本思路是消去参数，而且要保证消参的等价性，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。2.化一般方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定适合的参数t，先确立一个关系x=f(t)（或y=(t)），再代入一般方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=(t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数目、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。3.在参数方程与一般方程的互化中，一定使x,y的取值范围保持一致。【课后牢固练习】1．椭圆x3cos(是参数)的两个焦点坐标是（）y15sinA、(-3，5)，(-3，-3)B、(3，3)，(3，-5)C、(1，1)，(-7，1)D、(7，-1)，(-1，-1)解：化为一般方程得(x3)2(y1)222=9,得2＝１６,c=4.∴9251，∴a=25,bcF(x-3,y+1)=F(0,±4)，∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.xcossin2(02．参数方程22)表示()y1(1sin)2A.双曲线的一支，这支过点(1，1)B.抛物线的一部分，这部分过(1，1)22C.双曲线的一支，这支过(-1，1)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，1)21x2(x＞0).∴应选B.2解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0).即y=2xsin(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()3．在方程cos2yA、(2,-7)B、（1，2）C、(1，1)D、(1，0)3322优选解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2，将x=1代入，得y=1。∴应选C.224．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A、x2+(y+2)2=4B、x2+(y-2)2=4C(x-2)2+y2=4D、(x+2)2+y2=4解：将ρ=x2y2，sinθ=yy2代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.∴x2应选B.5．已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6)，则圆心的极坐标和半径分别为()A、(1,),r=2B、(1,),r=1C、(1,3),r=1D、(1,-),r=2363答案：C6．在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程是()A、ρsinθ=2B、ρcosθ=2C、ρcosθ=-2D、ρcosθ=-4解：点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有cosθ=OB2，得ρcosθ=2，∴应选B.OP7．4sin25表示的曲线是()2A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线解：4ρsin22=54ρ·cos122cos5.把ρ=x2y2ρcosθ=x，2代入上式，得2x2y2=2x-5.2平方整理得y=-5x+25.它表示抛物线.∴应选D.4极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是( )A、两条射线B、两条订交直线C、圆D、抛物线解：由4sin2θ=3,得4·y2223x,它表示两订交直线.∴应选B.＝3,即y=3x，y=±x2y29．直线：3x-4y-9=0与圆：x2cos(为参数)的地址关系是( )y2sin,A、相切B、相离C、直线过圆心D、订交但直线但是圆心答案：D10．在极坐标系中，点(,)到圆2cos的圆心的距离为（）22A、2B、4C、1D、399解：分别化为直角坐标进行计算，(2,)化为直角坐标是(1,3)，圆2cos的直角坐3标方程是x2y22x0，圆心的坐标是(1,0)，故距离为3。答案：D优选11．经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是3( )x11tA、2

x11t2B、y53y53tt22x11ty13tC、2D、2y53tx51t22答案：A12．若直线x4at((t为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为()ybtA、B、2C、或2D、或5333333答案：C13．设a,bR,a22b26,则ab的最小值是（C）A、22B、53C、－3D、732x34t14.若直线l的参数方程为5(t为参数)，则过点(4，-1)且与l平行的直线在y3ty25轴上的截距为.答案：-4x13t为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x，y)与点M(-1，2)15．直线2(ty3t的距离为.答案：135°，|32t|x34cos,(为参数)的圆心坐标为，和圆C关于直线xy01