七年级数学平行线的性质与判定的证明练习题及答案

平行线的性质与判定的证明

练习题温故而知新：.平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等;(3)两直线平行，同旁内角互补..平行线的判定(1)同位角相等，两直线平行;(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行互补.例1已知如图2-2,AB〃CD〃EF,点M,N,P分别在AB,CD,EF上,NQ平分/MNP.(1)若乙AMN=60°,4EPN=80°,分别求4MNP,4DNQ的度数；解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.Word资料(标注/MND=4AMN,4DNP=4EPN)答案：(标注/MND=4AMN=60°,ZDNP=ZEPN=80°)解：(1)・「AB〃CD〃EF,/.ZMND=ZAMN=60°,ZDNP=ZEPN=80°,/.ZMNP=ZMND+ZDNP=60°+80°=140°,又NQ平分心MNP,1 1/.ZMNQ=4MNP=x140°=70°,2 2/.ZDNQ=ZMNQ-ZMND=70°-60°=10°,「.△MNP,4DNQ的度数分别为140°,10°.(下一步)(2)(标注/MND=4AMN,4DNP=4EPN)由(1)得/MNP=4MND+乙DNP=4AMN+/EPN,1 1/.ZMNQ=4MNP=(ZAMN+ZEPN),2 2/.ZDNQ=ZMNQ-ZMND1=^(ZAMN+ZEPN)-4AMN1二一(ZEPN-ZAMN),2即2ZDNQ=ZEPN-ZAMN.小结：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转Word资料换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.例2如图，/AGD二4ACB,CD，AB,EF，AB,证明：41二42.三占 卜C解析：(标注：41=42=4DCB,DG〃BC,CD〃EF)答案：(标注：41=42=4DCB)证明：因为乙AGD=4ACB,所以DG〃BC,所以41=4DCB,又因为CD±AB,EF±AB,所以CD〃EF,所以42=4DCB,所以乙1二42.小结：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3(1)已知：如图2-4①，直线AB〃ED,求证：/ABC+4CDE=4BCD；(2)当点C位于如图2-4②所示时，/ABC,4CDE与4BCD存在什么等量关系？并证明.Word资料图① 图②解析：动画过点C作CF〃AB由平行线性质找到角的关系.(标注/1=4ABC,42=4CDE)A. 答案：证明：如图，过点C作CF〃AB,•・直线AB〃ED,•.AB〃CF〃DE,/.Z1=ZABC,Z2=ZCDE.,ZBCD=Z1+Z2,/.ZABC+ZCDE=ZBCD；(2)解析：动画过点C作CF〃AB,由平行线性质找到角的关系.(标注/ABC+41=180°,42+4CDE=180。)Word资料答案：/ABC+4BCD+4CDE=360°.证明：如图，过点C作CF〃AB,•・直线AB〃ED,•.AB〃CF〃DE,/.ZABC+Z1=180°,Z2+ZCDE=180°.,ZBCD=Z1+Z2,/.ZABC+ZBCD+ZCDE=360°.小结:在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4如图2-5,一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角ZA是120°,第二次拐的角4B是150°,第三次拐的角是乙C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么4C应为多少度？解析：动画过点B作BD〃AE,Word资料答案：解：过点B作BD〃AE「.・AE〃CF,/.AE#BD#CF,aZA=Z1,Z2+ZC=180°-/ZA=12QO,Z1+Z2=ZABC=15Q°,••22=30°,/.ZC=18Q°-3Q°=15Q°.小结：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.举一反三：1.如图2-9,FG〃HI,则4x的度数为（ ）A.6Q°B,72°C,90°D,100°Word资料解析：/AEG=180°-120°=60°,由夕卜凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°=x+48°,解得x=72°.答案:B.2,已知如图所示，AB〃EF〃CD,EG平分/BEF,4B+4BED+4D=192°,4B-4D=24°,求/GEF的度数.解析：解:•••AB〃EF〃CD,/.ZB=ZBEF,ZDEF=ZD./ZB+ZBED+ZD=192°,即/B+/BEF+/DEF+ZD=192°,/-2(ZB+ZD)=192°,BPZB+ZD=96°./ZB-ZD=24°,.・・/B=60°,即/BEF=60°.•・EG平分/BEF,・・•/GEF=1/BEF=30°.Word资料3.已知：如图2-10,AB〃EF,BC〃ED,AB,DE交于点G.求证：4B=4E.解析：标注AB〃EF,BC〃ED答案：证明：••・AB〃EF,/.ZE=ZAGD.・••BC〃ED,/.ZB=ZAGD,/.ZB=ZE.例5如图2-6,已知AB〃CD,试再添上一个条件，使41=/2成立，并说明理由.解析：标注AB〃CD,41二42答案：方法一：（标注CF〃BE）解：需添加的条件为CF〃BE,理由：・•・AB〃CD,Word资料/.ZDCB=ZABC.•••CF〃BE,/.ZFCB=ZEBC,/.Z1=Z2；方法二：(标注CF,BE,41=42=4DCF=4ABE)解：添加的条件为CF,BE分别为乙BCD,乙CBA的平分线.理由：・•・AB〃CD,/.ZDCB=ZABC.•CF,BE分别为乙BCD,4CBA的平分线，/.Z1=Z2.小结：解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.例6如图1-7,已知直线11\\12，且13和11、12分别交于A、两点，点P在AB上，l产11、12分别交于C、D两点，连接PC、PD。(1)试求出乙1、42、43之间的关系，并说明理由。(2)如果点P在A、B两点之间运动时，问乙1、42、43之间的关系是否发生变化。(3)如果点P在AB两点的外侧运动时，试探究乙1、42、43之间的关系(点P和A、B不重合)Word资料

解：（1）解析：在题目中直接画出辅助线43=41+42。理由：如图⑴所示便B若用（I》过点P作PE〃/］交14于E,则41=4CPE,又因为11//12，所以PE〃12，则/EPD=42,所以4CPD=41+42,即43=41+42（2）解析：点P在A、B两点之间运动时，43=41+42的关系不会发生改变。（3）解析：如图（2）和（3）所以，当P点在A、B两点外侧运动时，分两种情况：Word资料4.如图2-11,CD平分/ACB,DE〃AC,EF〃CD,EF平分/DEB吗？请说明理由.解析：标注CD平分/ACB,DE〃AC,EF〃CD答案：标注/CDE=4ACD=4DCE=4DEF=4BEF解：EF平分/DEB.理由如下：••・DE〃AC,EF〃CD,/.ZCDE=ZACD,ZCDE=ZDEF,ZBEF=ZDCE.•CD平分/ACB,/.ZDCE=ZACD,/.ZDEF=ZBEF,即EF平分/DEB.5如图1-12,CD〃EF,Z1+Z2=ZABC,求证：AB〃GFWord资料解析：如图，作CK〃FG,延长GF、CD交于H,则4H+42+4KCB=180°.因为CD〃EF,所以4H=41，又因为41+42二4ABC,所以4ABC+4KCB=180°,所以CK〃AB,所以AB〃FG.6.如图2-13,已知AB〃CD,4ECD=125°,4BEC=20