实验中学2021届高三数学上学期期中试题文

河南省实验中学2021届高三数学上学期期中试题文河南省实验中学2021届高三数学上学期期中试题文PAGEPAGE27河南省实验中学2021届高三数学上学期期中试题文河南省实验中学2021届高三数学上学期期中试题文（时间：120分钟，满分:150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设复数z满足,则虛部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．已知集合M＝｛x｜x2＜4｝,N＝{x｜＜2}，则＝（）A．｛x｜﹣2＜x＜3} B．{x｜0＜x＜4} C．{x｜﹣2＜x＜2｝ D．{x|0＜x＜2｝3．函数y＝2在x＝1处的切线方程为(）A．y＝4x+2B．y＝2x﹣4C．y＝4x﹣2 D．y＝2x+44．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为(）A．（﹣1﹣) B．(﹣1+）C．（+﹣1） D．（+﹣1）5．数列｛an}中，a3＝5,a7＝2，若（）是等比数列，则a5＝（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．6．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛,选中1名男生和2名女生的概率为（）A． B． C． D．7．设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则m⊥n的一个充分不必要条件是()A．m⊥α,n∥β，α⊥β B．m⊥α，n⊥β，α∥β C．m⊂α，n∥β，α⊥β D．m⊂α，n⊥β，α∥β8．设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则(）A．有最小值为B．有最小值为C．有最小值为D．有最小值为49．执行如图所示的程序框图,若输出的x为30，则判断框内填入的条件不可能是（）x≥29？B．x≥30?C．x≥14？ D．x≥16？10．已知，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(）A．，k∈Z B．,k∈Z C．，k∈Z D．,k∈Z11．设函数f(x)的定义域为R,满足2f（x）＝f（x+2)，且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣x（x+2）．若对任意x∈（﹣∞,m］，都有f(x)≤3,则m的取值范围是()A．（﹣∞,］ B．（﹣∞，] C．［，+∞） D．［，+∞）12．已知球O的表面上有A，B，C,D四点，且AB＝2，BC＝，．若三棱锥B﹣ACD的体积为，且AD经过球心O,则球O的表面积为(）A．8π B．12π C．16π D．18π二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a＝，b＝,c＝，则a、b、c三者的大小关系为．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955667199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795415．已知向量，满足|+｜＝|﹣2｜，其中是单位向量，则在方向上的投影为．16．数列{}满足，则数列｛}的前20项和为．三．解答题（第17—21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题,每题10分，考生根据要求作答；本大题共6小题，共60分)17．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（）.（1）若，判断△ABC的形状；(2）若＝,△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．已知数列{an｝是公差不为0的等差数列，数列{bn｝是正项等比数列，其中a1＝b1＝1，＝,﹣4＝．(1)求数列{an}、{bn｝的通项公式;（2)求数列{｝的前n项和Tn．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始,父母就对我们关心无微不至,其中下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据:岁数x126121617花费累积y（万元）139172226假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系,求（1)花费累积y与岁数x的线性回归直线方程(系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后,我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱?参考公式：，.20．如图，四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是边长为4的菱形，PA＝PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE＝1，设AC∩BD＝O．（1）证明：PO⊥平面ABCD;（2）若∠BAD＝60°,PA⊥PE，求三棱锥P﹣AOE的体积．21．已知的数f（x）＝++．（1）讨论函数f（x）的单调性;(2）若恒成立，求的取值范围．22．平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2)若直线l：与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且｜OQ|＝2｜OP｜，点M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积．23．已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）;（2）。河南省实验中学2020——2021学年上期期中试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设复数z满足zi＝﹣3+i，则虛部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3【解答】解:∵zi＝﹣3+i，∴，∴，则虚部是﹣3，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合M＝{x｜x2＜4}，N＝{x｜log2x＜2}，则M∩N＝（)A．｛x｜﹣2＜x＜3｝ B．｛x|0＜x＜4} C．{x|﹣2＜x＜2｝ D．{x｜0＜x＜2}【解答】解：∵M＝{x｜﹣2＜x＜2｝，N＝{x|0＜x＜4}，∴M∩N＝｛x|0＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性及定义域，描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．函数y＝2x(lnx+1）在x＝1处的切线方程为（）A．y＝4x+2 B．y＝2x﹣4 C．y＝4x﹣2 D．y＝2x+4【解答】解:由已知得:y′＝2lnx+4，所以y′|x＝1＝4，切点为（1，2)．故切线方程为:y﹣2＝4（x﹣1），即y＝4x﹣2．故选:C．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，属于基础题．4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久,风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形,若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（）A．（2﹣1﹣）a2 B．（2﹣1+）a2 C．（π+﹣1）a2 D．（+﹣1)a2【解答】解：根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积S＝S△ACE﹣2S扇形AOB﹣S△BCD，即S＝＝．故“窗花”面积为4S＝．故选：A．【点评】本题考查扇形的面积公式以及学生的运算能力，属于中档题．5．数列｛an}中，a3＝5，a7＝2,若（n∈N*)是等比数列，则a5＝（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．【解答】解：根据题意，设bn＝，则数列｛bn｝是等比数列，设其公比为q，若a3＝5，a7＝2，则b3＝＝1，b7＝＝4，则q4＝＝4，变形有q2＝2,则b5＝b3q2＝2，则有＝2,解可得a5＝3,故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意求出该等比数列的通项公式，属于基础题．6．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（)A． B． C． D．【解答】解：记2名男生为A1，A2，3名女生为B1，B2，B3,所有的结果为：A1A2B1，A1A2B2,A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，一共有10种情况，符合条件的有：A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3,A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，共6种情况，所以概率为，故选：C．【点评】本题考查了列举法求概率问题，是一道基础题．7．设m，n是两条不同的直线,α，β是两个不同的平面，则m⊥n的一个充分不必要条件是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥β B．m⊥α,n⊥β，α∥β C．m⊂α，n∥β,α⊥β D．m⊂α，n⊥β，α∥β【解答】解:A、m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n,因此不正确；B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此不正确；C、α⊥β，m⊂α，n∥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确．D、α∥β，m⊂α，n⊥β,可得n⊥α，因此可得m⊥n，因此正确;故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则(）A．有最小值为2+1 B．有最小值为+1 C．有最小值为 D．有最小值为4【解答】解:根据题意,，因为a＞0，b＞0，所以,当且仅当，即时等号成立，故有最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，若输出的x为30，则判断框内填入的条件不可能是(）A．x≥29？ B．x≥30? C．x≥14？ D．x≥16?【解答】解：执行程序,可得x＝2,2是偶数，x＝3，3不是偶数，x＝6，不符合判断框内的条件，执行否，x＝7,7不是偶数，x＝14,不符合判断框内的条件，执行否，x＝15，不是偶数，x＝30,此时应该满足条件，结束循环，故判断框内的条件为x＝14时不符合要求,x＝30时符合要求，故A，B，D选项均满足．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论，是基础题．10．已知，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(）A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z【解答】解:,f（x）图象向右平移个单位长度得到的解析式为，令2x＝kπ,则,所以对称轴为,k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ)的图象变换规律和余弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．11．设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）＝f（x+2），且当x∈[﹣2,0）时，f(x）＝﹣x(x+2）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤3，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，］ B．（﹣∞，］ C．［,+∞) D．[，+∞)【解答】解：函数f（x)的定义域为R，满足2f(x）＝f（x+2）,可得f（0)＝2f(﹣2）＝0，当x∈［﹣2，0）]时，函数f(x)在[﹣2,﹣1）上递增,在(﹣1,0)上递减，所以f（x)max＝f（﹣1）＝1，由2f(x﹣2）＝f（x）,可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大,由f(x)＝f(x+2），可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小,当x∈［﹣4，﹣2)时,f（x）max＝f(﹣3）＝，当x∈［0,2）时，f（x)max＝f（1）＝2,当x∈[2，4)时，f（x）max＝f（3)＝4，设x∈［2，4）时，x﹣4∈［﹣2，0），f（x﹣4)＝﹣（x﹣4)（x﹣2）＝f（x），即f（x）＝﹣4（x﹣4）（x﹣2），x∈[2，4),由﹣4（x﹣4）（x﹣2）＝3，解得x＝或x＝,根据题意,当m≤时，f(x)≤3恒成立，故选：A．【点评】本题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题．12．已知球O的表面上有A，B,C，D四点，且AB＝2，BC＝2．若三棱锥B﹣ACD的体积为，且AD经过球心O,则球O的表面积为（)A．8π B．12π C．16π D．18π【解答】解:由题意可知画出图形，如图所示：球O的球心在AD的中点，取BC的中点E,连接AE，OE，由余弦定理得:,所以AC＝2，即AC2+AB2＝BC2,所以△ABC为直角三角形．则点E为△ABC的外接圆的圆心．由球的对称性可知：OE⊥平面ABC，由于，所以,即,解得OE＝，由于AE⊂平面ABC,OE⊥AE，AE＝＝，所以球的半径R＝OA＝,所以球的表面积为S＝4π•22＝16π．故选:C．【点评】本题考查的知识要点:余弦定理，球的对称性,线面垂直的判定和性质，球的表面积公式，锥体的体积公式,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．答案为:a＜b＜c【解答】解：∵a＝log20。3,b＝log0.32,c＝20。3,∴a＝log20.3＜log20.5＝﹣1，0＞b＝log0。32＞log0.31，c＝20。3＞0，∴a＜b＜c．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号,如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号331，572，455,068，047（下面摘取了随机数表第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954．【解答】解：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331,第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877它大于799故舍去，第五个数是047．故答案为：331、572、455、068、047【点评】抽样方法,随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的15．已知向量，满足｜+｜＝|﹣2|，其中是单位向量,则在方向上的投影为．【解答】解:∵，，∴,∴，∴在方向上的投影是．故答案为:．【点评】本题考查了向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．16．220三．解答题（共7小题)17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，bcosC＝(acosB+bcosA)cosB．（1）若sin2A＝2sinBsinC,判断△ABC的形状;（2)若tanA＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵bcosC＝（acosB+bcosA）cosB．∴由正弦定理可得:sinBcosC＝(sinAcosB+sinBcosA)cosB＝sin（A+B)cosB，可得：sinBcosC＝sinCcosB，可得：sin(B﹣C)＝0,由于B,C∈（0，π)，可得:B﹣C∈（﹣π，π）,所以：B＝C，可得：b＝c，…4分因为:sin2A＝2sinBsinC，所以由正弦定理可得:a2＝2bc,可得:a2＝b2+c2，所以△ABC是等腰直角三角形…6分（2）∵tanA＝＝,sin2A+cos2A＝1，∴cosA＝，sinA＝＝,…8分由(1）知b＝c，∵cosA＝＝＝，∴b＝2a，…10分∵△ABC的面积为，可得S＝bcsinA＝＝，∴a＝1，b＝2，△ABC的周长a+b+c＝5a＝5…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知数列｛an}是公差不为0的等差数列,数列｛bn}是正项等比数列，其中a1＝b1＝1，a5＝b3，a3a9﹣4＝b5．(1）求数列｛an｝、{bn}的通项公式;（2）求数列{anbn｝的前n项和Tn．【解答】解:（1）设数列｛an}的公差为d（d≠0），数列{bn}的公比为q（q＞0),由题设可得：，解得：d＝2，q＝3,∴an＝1+2（n﹣1)＝2n﹣1,bn＝3n﹣1；（2）由（1）知:anbn＝（2n﹣1）•3n﹣1，∴Tn＝1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1,又3Tn＝1×31+3×32+…+（2n﹣3)•3n﹣1+（2n﹣1)•3n,两式相减得：﹣2Tn＝1+2(31+32+…+3n﹣1)﹣（2n﹣1）•3n＝1+2×+(1﹣2n)•3n，整理可得:Tn＝（n﹣1）•3n+1．【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至,其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据:岁数x126121617花费累积y（万元）139172226假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系,求（1）花费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数)；（2）24岁大学毕业之后,我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式:＝＝．＝﹣．【解答】解：(1）由表可知，，，∴＝＝＝，．∴花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为．(2）当x＝24时，＝1。463×24﹣0。167≈35（万元)，30岁成家立业之后,在50岁之前偿还，共计20年，所以每月应还元．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用,考查学生的运算能力，属于基础题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形,PA＝PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE＝1，设AC∩BD＝O．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若∠BAD＝60°,PA⊥PE，求三棱锥P﹣AOE的体积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥PA,PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC,∵PO⊂平面PAC,∴BD⊥PO，∵PA＝PC,O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD．（2)解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°,得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∵O是BD的中点，∴BO＝2，在Rt△ABO中，AO＝＝2,在Rt△PAO中，PA2＝AO2+PO2＝12+PO2，取BC的中点F,连结DF，则DF⊥BC,∴在Rt△POE中,PE2＝OE2+PO2＝3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°＝21，∵PA⊥PE，∴PA2+PE2＝AE2，∴12+PO2+3+PO2＝21，∴PO＝，∵S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△COE＝﹣＝,∴三棱锥P﹣AOE的体积VP﹣AOE＝＝＝．【点评】本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.解：(1）函数f（x）的定义域为（0，十∞)，，①当a⩾0时，由f′（x)＝0，解得，令f′（x）＞0,得，所以f（x）在上单调递增;令f′(x)＜0,得，所以f（x）在上单调递减．②当﹣2＜a＜0时，由f′（x）＝0，解得或，且．令f′(x）＞0,得，所以f（x）在上单调递增；令f′(x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．③当a＝﹣2时，f′（x）⩾0，f（x）在（0,+∞）上单调递增．④当a＜﹣2时，由f′（x)＝0,解得或,且．令f′（x）＞0,得，所以