实验中学2020届高三数学下学期开学考试试题理含解析

黑龙江省实验中学2020届高三数学下学期开学考试试题理含解析黑龙江省实验中学2020届高三数学下学期开学考试试题理含解析PAGE25-黑龙江省实验中学2020届高三数学下学期开学考试试题理含解析黑龙江省实验中学2020届高三数学下学期开学考试试题理（含解析）一、单选题1。已知集合,，则()A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】分别计算集合，集合,再求.【详解】由，得，即，由,得,所以，所以，所以。故答案选B【点睛】本题考查了集合交集,属于简单题。2.给定下列三个命题：函数（且）在上为增函数；;成立的一个充分不必要条件是.其中的真命题为（）A。 B。C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，当时，函数在上为减函数，所以为假命题;因为，所以命题为假命题，则为真命题;由当时，是成立的，而当成立时,，成立的一个充分不必要条件是是真命题.所以命题为真命题,故选D.考点：复合命题的真假判定。3。、、表示空间中三条不同的直线，、表示不同的平面,则下列四个命题中正确的是（）A.若，，，则B。若,，，,则C。若，,，，，则D.若，，,,则【答案】D【解析】【分析】逐一分析各选项中命题的正误，可得出合适的选项。【详解】对于A选项，若，，，则与无公共点，所以与平行或异面，A选项错误；对于B选项,若,，，,则与平行或相交，B选项错误;对于C选项，若，，，,,则与斜交或垂直，C选项错误；对于D选项，若,，，，由平面与平面垂直的判定定理可得，D选项正确。故选：D.【点睛】本题考查线面关系、面面关系有关命题真假的判断，可以利用空间中平行、垂直的判定和性质定理进行判断，也可以利用几何体模型来进行判断,考查推理能力，属于中等题。4。已知，为互相垂直的单位向量，若,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果。【详解】代数法：，故选A.【点睛】本题考查向量夹角公式,考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.A。 B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】求出被积函数的原函数,分别代入积分上限和积分下限作差得答案．【详解】解:．故选：C．【点睛】本题考查了定积分，解答的关键是求出被积函数的原函数，属于基础题．6。设x，y，z是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析:，故D恒成立;由于函数，在单调递减；在单调递增,当时，即,当,即正确,即A正确；由于,故B恒成立，若,不等式不成立,故C不恒成立,故选C．考点:1、基本不等式证明不等式;2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．7。在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,，则的面积为（)A. B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理求得,再根据三角形面积公式即可求解.【详解】在中，,，由余弦定理代入可得，即所以则的面积故选：B【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.8.在平面直角坐标系中，已知,，则的最小值为(）A.1 B.2 C。3 D.4【答案】B【解析】根据条件得到表示的是曲线,上两点的距离的平方，∵y=x2﹣lnx,∴y′=2x﹣(x＞0），由2x﹣=1,可得x=1，此时y=1,∴曲线C1：y=x2﹣lnx在(1，1）处的切线方程为y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0，与直线x﹣y﹣2=0的距离为=，∴的最小值为2．故答案为B．点睛：本题考查两点间距离的计算，考查导数知识的运用,求出曲线C1：y=x2—lnx与直线x-y-2=0平行的切线的方程是关键．注意做新颖的题目时，要学会将新颖的问题转化为学过的知识题型，再就是研究导数小题时注意结合函数的图像来寻找灵感，有助于解决题目.9.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献。在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式,千位用横式，以此类推，遇零则置空,如图:如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（）A.B.C.D。【答案】B【解析】【分析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字。【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，则上列情况能表示的三位数字个数分别为:2，2,2,4,2,4，4,4，4，4，2，2,4,2,2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：。故选B.【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力。10.设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为（）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】由圆过原点，知中有一点与原点重合,作出图形，由,，得，从而直线倾斜角为,写出点坐标，代入抛物线方程求出参数,可得点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，由于，，∴，∴，，∴点坐标为，代入抛物线方程得，，∴，．故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题,解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标,问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．11.在内接于球的四面体中，有，,，若球的最大截面的面积是，则的值为（）A. B. C. D。【答案】A【解析】【分析】由题意将四面体放入长方体中，由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径，球的最大截面既是过球心的圆，由题意求出外接球的半径，进而求出的值.【详解】将四面体放入到长方体中,与，与，与相当于一个长方体的相对面的对角线，设长方体的长,宽,高分别是则，球的最大截面的面积是，球的最大截面即是过球心的大圆，设球的半径为则,，，解得:，故选：A.【点睛】考查三棱锥的外接球的半径的与长方体棱长的关系,考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.已知函数（a∈R）,若在x∈（0,1］时恒成立,则实数a的取值范围是A.[，+∞） B.[，+∞） C.［2，+∞) D.［1,+∞)【答案】B【解析】【分析】首先将式子化简，将参数化为关于的函数,之后将问题转化为求最值问题来解决,之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值,在求解的过程中，注意对函数进行简化,最后用洛必达法则,通过极限求得结果.【详解】根据题意，有恒成立,当时，将其变形为恒成立，即，令，利用求得法则及求导公式可求得，令，可得，可得，因为，所以时，，时，，所以函数在时单调减，在时单调增，即，而，所以在上是减函数，且，所以函数在区间上满足恒成立,同理也可以确定在上也成立，即在上恒成立，即在上单调增，且,故所求的实数的取值范围是,故选B。点睛：该题属于应用导数研究函数最值的综合问题，在解题的过程中,注意构造新函数，并且反复求导，研究函数的单调性，从而确定出函数值的符号，从而确定出函数的单调性，从而得出函数在哪个点处取得最值,还有需要应用洛必达法则求极限来达到求最值的目的。二、填空题13。若复数在复平面上所对应的点在实轴上，则实数______。【答案】【解析】【分析】由复数对应点在实轴上可知其虚部为零，由此构造方程求得结果.【详解】对应的点在实轴上,解得:故答案为：【点睛】本题考查根据复数对应的点的位置求解参数范围的问题，涉及到复数的乘法运算，属于基础题.14。现有高一学生两人,高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行,要求同一年级的学生不能相邻，则不同的排法总数为______。【答案】48【解析】【分析】先求得五个人的全排列,除去相邻的情况,即为同一年级学生不相邻的情况。【详解】将五个人全排列，共有种;高一学生和高二学生都相邻:捆绑法把高一两个人和高二两个人看成一个整体,再三个团体全排列,共有种.高一学生相邻，高二学生不相邻：捆绑法把高一学生作为一个整体排列，和高三学生再全排列，将高二的学生插3个空位中的两个,共有种.高二学生相邻，高一学生不相邻：捆绑法把高而学生作为一个整体排列，和高三学生再全排列,将高一的学生插3个空位中的两个,共有种.所以满足同一年级学生不能相邻的总排列方法有种故答案为：48【点睛】本题考查了排列问题的综合应用，对于相邻问题，通常使用捆绑法作为一个整体处理,对于不相邻问题,通常采用插空法处理，属于中档题。15。已知直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程表示出双曲线的渐近线方程，与直线方程联立可得两点坐标，利用中点坐标公式求得中点的坐标.即可由直线斜率公式求得。【详解】双曲线所以其渐近线方程为因为直线与渐近线交于A，B两点则解得或即两个交点坐标为,设中点坐标为则由中点坐标公式可得由题意则故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的简单应用，直线交点坐标的求法，斜率公式及中点坐标公式的应用,化简过程较为繁琐，属于中档题.16.观察下面的数表，该表中第6行最后一个数是______；设2016是该表的行第个数，则______。【答案】(1）。126（2).507【解析】【分析】第行的第1个数是，这一行有个数，由此可得第6行最后一个数，按此规律,由可知所在行数，然后可确定是第几个．【详解】由数表可知,第6行第一个数为，根据每行行数为,则行内数字个数为个，所以第6行最后一个数是；由,所以2016在第10行,所以，得,所以。故答案为:；.【点睛】本题考查归纳推理，考查等比数列的通项公式与等差数列的通项公式,考查了学生的创新意识，归纳推理能力．三、解答题17。在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,点P是曲线上的动点,点Q在OP的延长线上,且,点Q的轨迹为．（1）求直线l及曲线的极坐标方程；（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合）,求的最大值.【答案】（1）直线l极坐标方程为。的极坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程,再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线的极坐标方程；（2)利用极坐标中极径的意义求得长度,再把所求变形成正弦型函数,进一步求出结果．【详解】（1）消去直线l参数方程中的t,得，由，得直线l的极坐标方程为，故．由点Q在OP的延长线上，且，得,设，则，由点P是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为．（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，,所以，，所以，所以当时,取得最大值，为．【点睛】本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用,属于中档题．18。如图,四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面，；（1）求四棱锥的体积；（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小．【答案】（1)；(2)．【解析】分析】（1）求出，,，由此能求出四棱锥的体积．（2）取中点,以为原点，为轴,为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角．【详解】解：(1）∵四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面,，∴，，，，∴四棱锥的体积．（2)取中点,以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，,，，，，设异面直线与所成角为，则，故，∴异面直线与所成角为．【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角以及棱锥的体积，需熟记椎体的体积公式,异面直线所成的角可采用空间向量法进行求解．19.已知函数（其中）．(1）若函数的最小正周期为，求的值,并求函数的单调递增区间；（2）若,,且，求的值．【答案】（1)，递增区间(）；（2）或。【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据函数f（x）的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间；（2）将ω＝2，可得f(x）解析式,0＜α＜π，由，利用三角函数公式即可求α的值．【详解】解：（1）函数sin（ωx），∵函数f(x)的最小正周期为3π，即T＝3π∴ω那么：，由，k∈Z，得：∴函数f（x)的单调递增区间为，k∈Z；(2)函数sin(ωx），∵ω＝2∴f（x）sin（2x)，，可得sin（2α）∵0＜α＜π,∴（2α）2α或解得:α或α．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．20.已知等差数列的前项和为，满足.数列的前项和为，满足.（1）求数列和通项公式;（2）求数列的前项和.【答案】(1），；（2）。【解析】【分析】(1）根据题意，求得,然后求得公差,即可求出数列的通项，再利用求得的通项公式；（2）先求出的通项，然后利用数列求和中错位相减求和.【详解】解:(1)由，得，解得.由，解得或.若,则，所以.所以，故不合题意，舍去.所以等差数列的公差，故.数列对任意正整数，满足.当时，，解得;当时，，所以。所以是以首项，公比的等比数列，故数列的通项公式为。（2）由（1)知，所以,①所以，②①-②，得，所以.【点睛】本题主要考查了数列的综合(包含数列通项的求法，以及求和中错位相减），易错点在于是否检验n=1的情况,以及计算的失误，属于中档题.21。已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别是、，且椭圆上一动点到的最远距离为，过的直线与椭圆交于,两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当以为直角时，求直线的方程；（3）直线的斜率存在且不为0时，试问轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在,请说明理由。【答案】（1）(2）直