浅谈常见计数问题的解析策略

浅谈常见计数问题的解析策略

郑有礼【Summary】计数问题是每年高考命题的热点，列式的思路是分类加法、分步乘法、有序排列、无序组合.解决此类问题，首先，要认真审题，抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个计数原理（分类加法计数原理与分步乘法计数原理）进行分类与分步，分类与分步是解析计数问题的最基本的步骤;其次，分类与分步之后，要考虑每一类、每一步的列式方案，分析是否存在类中有类、类中有步、步中有类、步中有步的情况;再次，求种数时，如果与顺序有关，那么用排列数列式;如果与顺序无关，那么用组合数列式.【Key】计数问题;解析策略计数问题是每年高考命题的热点，列式的思路是分类加法、分步乘法、有序排列、无序组合.分类加法计数原理的特征是分类解决问题，分类必须满足类与类互斥，总类必须完备;分步乘法计数原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性.求种数时，与顺序有关，用排列数列式;与顺序无关，用组合数列式.相邻、相离、定序、选排、特殊位置、特殊元素、平均分组、相同元素分栏、至多至少等问题是一些常见的计数问题，现将它们的解析策略列举如下.一、相邻问题捆绑处理求解某几个元素必须相邻的排列问题时可按下面两个步骤进行：第一步，把相邻元素进行排列后捆绑成一个捆绑团;第二步，将捆绑团视为一个元素与其他元素进行全排列.例1

某校校庆期间，学校将8面不同颜色的彩旗并排插在教学楼的楼顶上，红色旗与黄色旗必须插在一起，一共有多少种不同的插法？解析

该问题中，红色旗与黄色旗必须插在一起是相邻问题，应分两步解决：第一步，将相邻的2个元素进行排列，有A22种排法，并将2个相邻元素捆绑成一个捆绑团;第二步，将捆绑团视为1个元素，连同其他6个元素一共7个元素进行全排列，有A77种排法.根据分步乘法计数原理，一共有A22·A77=10080种不同的插法.二、相离问题插空处理相离问题是指排列时某些元素不能相邻，由其他元素将它们分开.解析此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入已排好元素的空隙及两端位置.例2

已知天祝县第二中学高三年级组的9名班主任站成一排照相，其中要求永强与志杰两个人必须站在一起，而海军和福学两个人不能站在一起，则有多少种站队方法？解析

该问题中永强与志杰相邻，海军和福学相离，是相邻与相离的综合问题，总体分三步解决：第一步，将相邻的永强与志杰两个人进行排列，有A22种排法，并将这两个人捆绑成一个捆绑团;第二步，将捆绑团视为1个元素，连同海军和福学除外的其他5个元素一共6个元素进行全排列，有A66种站法;第三步，将海军和福学插入已排好的班主任的空隙及两端位置，有A27种站法.根据分步乘法计数原理，一共有A22·A66·A27=60480种不同的站队方法.三、定序问题分次插空处理限定部分元素保持一定的顺序与其他元素进行排列的问题就是定序问题.解析定序问题可以先将定序的元素按要求排好，再将其他元素一次插入一个，分次插入已排好元素的空隙及两端位置，每插入一个元素就会增加一个插入位置.例3

“六一”儿童节期间，武威市天祝师范附属小学的6名小朋友站队，其中有3名男性小朋友，他们分别是强强、军军与杰杰，站队时强强必须要站在军军与杰杰的后面，则有多少种不同的站法？解析

该问题中男性小朋友强强必须要站在军军与杰杰的后面属于定序问题，总体分两步解决：第一步，将3名男性小朋友按规定顺序排好队，有A22种排法;第二步，分次插空，先将第一名女性小朋友插入已排好的男性小朋友的空隙及两端位置，有4种插法，再将第二名女性小朋友插入已排好的4名小朋友的空隙及两端位置，有5种插法，最后将第三名女性小朋友插入已排好的5名小朋友的空隙及两端位置，有6种插法，完成第二步根据分步乘法计数原理有4×5×6=120种插法.总体上依据分步乘法计数原理一共有A22·120=240种不同的站队方法.四、选排问题先选排后分步处理先选出元素，再把选出的元素排列到位置上的排列组合的综合性问题就是选排问题.解析此类问题可以分步进行，先用组合选出元素，再用排列将选出的元素排到位置上.例4

在天祝县第二中学第十一届冬季球类运动会期间，学校团委组织了一个有7名志愿者参加的服务小组，其中2名老师担任正副组长，组员由5名学生组成.现有四项不同的任务需4名志愿者完成，有且只有1名组长参加，每名志愿者只完成一项任务，有多少种不同的安排方法？解析

该问题中需先选志愿者，再安排选出的志愿者完成四项不同的任务，属于选排问题，总体分两步解决：第一步，选出4名志愿者，先在2名组长中选出1人，有C12种选法，再在5名学生志愿者中选出3人，有C35种选法，完成第一步根据分步乘法计数原理有C12·C35=20种不同的选法;第二步，安排4名选出的志愿者完成四项不同的任务，有A44=24种排法.总体上依据分步乘法计数原理，一共有20×24=480种不同的安排方法.五、特殊元素（位置）优先处理在排列中，有时限定某元素必须排在某位置或某元素不能排在某位置，有时限定某位置只能排某元素或者某位置不能排某元素，这种问题就是特殊元素（位置）问题，解析此类问题可以先将特殊元素（位置）优先处理，再将其他元素进行排列.例5

安排甘肃省武威市天祝县某医院的6名护士上台表演节目，每人一个节目，其中要求丽丽的节目不能安排在最后位置，岚岚的节目不能安排在最前位置，则有多少种不同的节目安排方法？解析

该问题中要求丽丽的节目不能安排在最后位置，岚岚的节目不能安排在最前位置.最前与最后是两个特殊位置，丽丽和岚岚是两个特殊的“元素”，可以先将她们优先安排.总体上可以分为两类：第一类是将岚岚的节目安排在最后，有A55=120种安排方法;第二类是将岚岚的节目不安排在最后，分三步完成，第一步把岚岚的节目安排好有4种方法，第二步把丽丽的节目安排好有4种方法，第三步将其他的节目安排好有A44=24种方法，根据分步乘法计数原理完成第二类有4×4×24=384种不同的安排方法.總体上依据分类加法计数原理一共有120+384=504种不同的安排方法.六、平均分组问题做除法处理各组的元素个数相等的分组就是平均分组，解析平均分组问题时，先分组（用组合），再做除法.平均分组的种数与组序无关，组序不同但组中元素相同的分组仍是同一分组.做除法是为了避免重复计数.若把n个不同元素平均分成m组，则有Cmn·Cmn-m·Cmn-2m·…·CmmAmm种分法.在有些分组中，有一部分组的元素个数相等，这种分组就是部分平均分组，解析部分平均分组问题可以分两个步骤进行，第一步依次用组合把元素个数不相等的组中的元素分别取出来，第二步把剩下的元素进行平均分组（此时也要做除法）.例6

2020年年初，新冠肺炎疫情暴发，人民生命安全受到严重威胁.疫情既是命令又是试金石，为了更好地防控新冠肺炎疫情，打好疫情防控阻击战，充分发挥共产党员的先锋模范带头作用，甘肃省武威市天祝县某单位的共产党员们争先恐后地提交到社区支援疫情防控工作的申请.若该单位决定将6名优秀共产党员平均分成三组安排到三个不同社区支援疫情防控，有多少种不同的安排方法？若该单位决定将7名优秀共产党员按3∶2∶2的比分成三组分别安排到三个不同社区支援疫情防控，又有多少种不同的安排方法？解析

第一问中，完成该工作分两步进行，第一步将6名优秀共产党员平均分成三组，有C26·C24·C22A33=15种分法;第二步将分成的三组优秀共产党员安排到三个不同社区有A33=6种安排方法.总体上按照分步乘法计数原理一共有15×6=90种不同的安排方法.第二问中，完成该工作也分两步进行，第一步将7名优秀共产党员按3∶2∶2的比分成三组，是部分平均分组，有C37·C24·C22A22=105种分法;第二步将分成的三组优秀共产党员安排到三个不同社区有A33=6种安排方法.总体上按照分步乘法计数原理一共有105×6=630种不同的安排方法.七、相同元素分栏问题插板处理把相同的n个元素分入m（m≤n）个栏中就是相同元素的分栏问题，若满足所要分栏的元素必须完全相同且必须分完，不允许有剩余，参与分元素的每个栏至少分到1个元素且不能有分不到元素的栏，则可用插入挡板的方法处理.先将n个分栏元素排成一行，再在元素间的（n-1）个空隙中插入（m-1）个挡板，一个空隙只能插入一个挡板，插入的挡板数等于栏数减一，有Cm-1n-1种分法.例7

2020年春季，新冠肺炎疫情暴发，严重影响着人们的生命、生产、生活.在党中央的领导下，一场轰轰烈烈的抗击疫情的伟大的人民战争在中华大地全面展开，疫情防控取得阶段性胜利，经过科学研判论证，各地中小学先后有序开学.甘肃省武威市某中学自开学以来，认真贯彻执行疫情防控命令，为确保全校师生的生命安全和身体健康，学校的每个年级部都安排专人按时进行严格的消毒杀菌工作.现有爱心人士华某某给学校捐赠了11瓶相同的84消毒液和9条相同的毛巾，要求全部分发给6个年级部，每个年级部至少要分得1瓶84消毒液，也至少要分得1条毛巾，则有多少种不同的分法？解析

给年级部分发84消毒液和毛巾，分两步进行，第一步按要求将11瓶84消毒液分发给6个年级部，这是相同元素分栏问题，把11瓶84消毒液排成一行，在84消毒液间的10个空隙中插入5个挡板，有C510=252种分法;第二步按要求将9条毛巾分发给6个年级部，这也是相同元素分栏问题，把9条毛巾排成一行，在毛巾间的8个空隙中插入5个挡板，有C58=56种分法.总体上按照分步乘法计数原理一共有252×56=14112种不同的分法.八、至多至少问题正难则反间接处理从正面解析含“至多”“至少”的排列组合问题是需要分类的，正面分类处理较烦琐时可间接处理.解析此类问题可以先求出它的反面，再从整体中排除反面的种数.例8

优先发展教育事业是实现中华民族伟大复兴的必由之路，教育兴则国兴，教师强则教育强.教师是立教之本，建设一支业务素质精良的教师队伍是时代发展的需要.到教育发达省份去交流学习是提高教师队伍综合素质的有效途径.2019年，甘肃省武威市天祝县第二中学的高三年级部有30名教师，其中女教师有16名，高考结束后，学校决定从中选派6名教师到天津市蓟州区某学校交流学习，则至少有2名女教师的选派方法有多少种？解析

从30名教师中选派6名教师有C630=593775种方法，至少有2名女教师的选派方法包含恰好选派2名女教师、恰好选派3名女教师、恰好选派4名女教师、恰好选派5名女教师、恰好选派6名女教师等5类情况，正面求解运算量较大.而其反面至多有1名女教师包含的情况只有2类，第一类是恰好选派1名女教师，有C116·C514=32032种选派方法;第二类是全部选派男教师，有C614=3003种选派方法.依据分类加法计数原理至多有1名女教师的选派方法有32032+3003=35035种，故至少有2名女教师的选派方法有593775-35035=558740种.总之，计数问题的种类比较多，分类与分步是解决计数问题的最基本的策略.除了相邻、相离、定序、选排、特殊元素、特殊位置、平均分组、相同元素分栏及至多至少等问题，还有其他计数问题，是每年高考命题的热点.解决计数综合