高数 第十一章 无穷级数第四讲 幂级数

第四讲幂级数授课题目(章节)：§11.3幂级数教学目的与要求：了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法；了解幂级数在收敛区间内的基本性质，会求幂级数的和函数。教学重点与难点：幂级数的收敛半径、收敛域的求法讲授内容：一、函数项级数的概念定义1.u(x),u(x),,u(x)是定义在区间I上的函数列，称和式12nu(x)+u(x)++u(x)+为定义在区间I上的(函数项)级数，记为£u(x)TOC\o"1-5"\h\z1 2 n n••••••n=1定义2.若xeI.,.常数项级数u(x)收敛，则称x为函数项级数艺u(x)的收敛点;0 n0 0 nn=1若xeI，常数项级数u(x)发散，则称x为函数项级数艺u(x)的发散点；

0 n0 0 nn=1艺u(x)的收敛点(发散点)的全体称为艺u(x)的收敛域(发散域)。nnn=1 n=1定义3.在收敛域上，函数项级数艺u(x)的和是关于x的函数，称之为和函数s(x)。nn=1即在收敛域上，£u(x)=s(x)nn=1例求函数项级数1+x+x2+ +xn+的收敛域及和函数。二、幂级数及其收敛域定义4.函数项级数a+a.x+ax2土+axn+称为关于x的幕级数，记为0 1 2 n艺axn；(x=0时，艺axn收敛)nnTOC\o"1-5"\h\zn=0 n=0函数项级数a+a(x-x)+a(x-x)2++a(x-x)n+称为关于(x-x)的幕0 1 0 2 0 n0 0级数，记为无a(x一x)n。\o"CurrentDocument"n 0••••••n=0定理1.(Abell定理)如果幕级数无axn当x=x(x丰0)时收敛，则IxI<IxI时,n 0 0 0n=0无axn绝对收敛；如果区axn当x=x时发散，则IxI>IxI时，无axn发散。n n 0 0 nn=0 n=0 n=0推论如果幕级数另axn不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则nn=0必有一个正数R，使得当Ixl<R时，幕级数艺axn绝对收敛；nn=0当IxI>R时，幕级数无axn发散；nn=0当x=±R时，幕级数无axn可能收敛可能发散。nn=0定义5.正数R称为幕级数无axn的收敛半径；区间(-R,+R)称为幕级数无axn的nnn=0 n=0收敛区间。注：(1)若无axn仅在x=0一点收敛，则规定收敛半径R=0，这时收敛域为点x=0nn=0(2)若三axn在整个数轴上都收敛，则规定收敛半径R=+8，这时收敛域为nn=0区间(一叫+8)；(3)若收敛半径R>0，则收敛域为(-R,+R)或(-R,+R］或［-R,+R)或［-R,+R］。收敛半径的求法：公式法、比值法定理2.如果乞axn满足定理2.如果乞axn满足a丰0(n=0,1,2,nnn=0），=limnsa—n^ianpH0P=0P=+8解：①因p=lim\an11I=lim—n»an=1，nsn+1P则收敛半径R=<0例1、补例1、例5求下列级数的收敛域(1)£(-1)n-1竺nn=1(2)£2n-ix2n-2n=12n⑶£住土2nnn=1则R=1。当x=-1时级数£二发散；当x=1时级数nn=1£耳二收敛，故收敛区间为（-1,1］。nn=1②lim\(2n+1)X2n- 2 \=旦，当\x\v込时级数收敛，当\x\＞込时级数发散,n» 2n+1 (2n-1)x2n-2 2则R=込。x=±“2时级数£占均发散，故收敛区间为（-込，込）。2n=1③设t=x-1，级数可改写为£，因p=lim\an11\=lim2- =丄，则R=2。n=12n-n nwan n*2n+1（n+1）2当t=-2时级数£V1上收敛，当t=2时级数£-发散，故收敛区间为［-1,3］。nnn=1 n=1例2求幂级数1+ xn+n!的收敛区间。三、幂级数的运算加减运算：艺axn,艺bxn的收敛半径分别为R,R,R二min(R,R)TOC\o"1-5"\h\zn n 1 2 1 2n=0 n=0贝0艺axn±Sbxn=S(a土b)xn,xg(一R,+R)n n nnn=0 n=0 n=0和函数的性质：性质1幕级数Saxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续。nn=0性质2幕级数Saxn的和函数s(x)在其收敛区间(-R,+R)上可积，并有逐项积分公nn=0式Jxs(x)dxJxs(x)dx=Jx艺00axnnn=0dx=SJxaxndx=n=0Ea——n 兀农+1n+1n=0收敛半径不变)性质3幕级数艺axn的和函数s(x)在其收敛区间(-R,+R)上可导，并且有逐项求导nn=0公式s，(x)=s，(x)=(Saxn)，=S(axn)，=Snn=0nn=0naxn-1nn=0收敛半径不变)例6求S汩的和函数。n=0解：设s(x)=为 ，则有xs(x)=为 ，逐项求导得：[xs(x)]'=为xn=—(-1<x<1),解：n+1 n+1 1-x^一^0<lxl<lx，^一^0<lxl<lx，x=0两端同时积分得：xs(x)=Jx =-ln(1-x)，显然s(0)=1，则s(x)=<01-x由和函数的连续性知，s(x)在(-1,1)内连续。补例2求幕级数为nxn-1的