2013年全国入学统一考试数学试题

6矩

aba）（00分)

B(数a2,b【答

a2,b（7）设X,X,X是随量，且X∼N(0,1)，X∼N(0,22)， ∼N(5,32) 【答

量X∼t(n)，Y∼F(1,n)给定(00.5)常数c满足PXc，则PYc2（ 【答

(D)1二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上设函数yf(x)由方程yxex(1y)确定， 11 limnf( n 【答案】 方程的3个解，则该方程的通解y 【答案】CexCe3x d2d2

设y

（t为参数）， tt42【答案2（12）lnxdx 【答案】ln 【答案】（14）Y1aPYa1Ya 【答案】1三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说1 xln(t（15）（本题满分10分）计算 xdx，其中f(x)

t【详解】

1

1f(x)dx xf(x)

1x x x21xln(1x)dx21ln(1x)dx41ln(1x)dx 14xln(11

41

（设x04ln28

01（16）（本题满分10分）设数列an满足条a03a11an2n(n1)an(n2)S(x)

a

n（Ⅰ）S(x)S(x)0（Ⅱ）求S(x)的表达 n 【详解】由题意S(x

axn

． S(x)n(n1)axn2(n1)(n2)a

n所以S(xS(x 特征方程为210，得1．通解为S(x)CexCex．由S(xa03S(xa11得C12C21．所以S(x)2exe x3x

)e

的极值

【详解

y

(1

3解得

xy yx

y3A2

B2

e

C2

e

ACB22e3

1e3 x

y

，3，

A0，故不是极值点（18）（本题满分10分）设奇函数f(x在[1,1上具有二阶导数，且f(1)1，证（Ⅰ）存在(0,1，使f()（Ⅱ）存在(1,1，使f(f()1【详解】（Ⅰ）f(xf(0)0f(1)1f(x在区间[0,1]上应用拉格朗日中值定理，存在(0,1)f(1)f(0)f()(10)f()1因为f(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数，所以f()令F(x)ex(f(x)1，有F()F()0F(x)exf(x)ex(f(x)1)，对F(x在区间[,上应用罗尔定理，存在(,(1,1)，使得F()0，从而有f()f()1（19）（本题满分10分）设直线L过A(1,00)、B(0,1,1)两点，将Lz轴旋曲面与平z0z2所围成的立体为求曲面求AB11直线方x0

y1

z11z轴旋转的曲面方程x2y2x20y20z21显然形心坐标x0y2 2

z

0

7 2 0 7形心坐标(0,0,5 1 （20）（本题满分11分）设A ，B ，当a,b为 使得ACCAB，并求所有矩阵C 【详解】设C 4 xax axxax xxx

0

1其增广Ã

1

0 1 1

̃)1 1 1解得此方程组的通解为

l（ 1 0 0 0 1 0kl 故C （21）（10分） 1 2 3 1 2 3f(x,x,x)2(axax 1 2 3 1 2 3 记 ，b2 2a b3 3证明二次型f对应的矩阵为2TT 若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y2y2 1 2 3 1 2 3【详解】（Ⅰ）f(xxx2(axax 1 2 3 1 2 3所以二次型f对应的矩阵为2T（Ⅱ）记A2TA2TT)22A的特征值A2TT)1A的特征值 f在正交变换下的标准形为2y2y2 （22）（本题满分11分）设 量X的概率密度为f(x)

1x2,0x9

，令 X

量YX,1X2 X求Y的分布函数求概率PXY【详解】（Ⅰ）Y的分布函数FYyPY①y②y

FYyFYy③1y2PYy,1X2PX2 1 19 y191 1 19

1

3327 P0X2 0 9

2 3

，其中为知参数且大于零。X1X2⋯Xn为来自总X的简单随机样本求的矩估计量求【详解 2

2 exdxex2

(limexlimex) 0ˆ1 1ˆ