第讲一元微积分应用二

会计学1第讲一元微积分应用二一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第六章一元微积分的应用第三节曲线的凹凸性、函数图形的描绘第1页/共54页我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗??!..

一、曲线的凹凸性、拐点第2页/共54页它的图形的形式不尽相同.一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题.在数学分析中将这种问题称为曲线(函数)的凹凸性问题.第3页/共54页简单地说,在区间

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上:曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的;曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的.凸凹第4页/共54页成立,则称曲线在区间I上是凸的;成立,则称曲线在区间I上是凹的.定义第5页/共54页

凹凸性的一般性定义是……第6页/共54页凸第7页/共54页凹第8页/共54页成立,则称曲线在区间I上是凸的;成立,则称曲线在区间I上是凹的;1.曲线凹凸性的定义及其判别法第9页/共54页例1分析第10页/共54页有何体会？第11页/共54页能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？第12页/共54页判别可微函数的凸凹性主要是对进行比较.有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?泰勒公式第13页/共54页第14页/共54页第15页/共54页第16页/共54页以上的讨论是对开区间进行的,但结论却出现了闭区间这正确吗?结论是正确的,我们是利用函数的连续性将开区间内的结论延伸到了闭区间上.以上过程实际上证明了下面的判别曲线凹凸性的一个方法.第17页/共54页定理在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立.第18页/共54页该函数的图形请自己绘出.例2解第19页/共54页例3解第20页/共54页只是使的孤立点,不是曲线凹凸性的分界点.例3解第21页/共54页

比较例3和例4,发现使得曲线所对的分界点.我们的兴趣,因为它可能是曲线凹凸性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐点第22页/共54页连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点.2.曲线拐点的定义及判别法第23页/共54页定理(判别拐点的必要条件)证第24页/共54页称为曲线的拐点可疑点.第25页/共54页定理(判别拐点的充分条件)根据拐点的定义立即可证明该定理.第26页/共54页定理(判别拐点的充分条件)第27页/共54页证你能由以上的几个定理归纳出求曲线拐点的步骤吗？第28页/共54页

求拐点一般步骤第29页/共54页拐点拐点例4解第30页/共54页第31页/共54页例5解第32页/共54页例6解第33页/共54页例7第34页/共54页

函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关.你清楚它们之间的联系吗?画画图就能搞清楚.第35页/共54页

现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线.中学就会求了.第36页/共54页若动点P沿着曲线y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点P到一直线L的距离趋于零,则称此直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.

二、曲线的渐近线定义第37页/共54页曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线第38页/共54页第39页/共54页水平渐近线第40页/共54页这里的极限可以是垂直渐近线第41页/共54页想想：怎么求a,b?第42页/共54页这里的极限过程可以是以上的极限实际是

斜渐近线第43页/共54页

曲线可以穿过其渐近线.例8解第44页/共54页例9解第45页/共54页曲线无水平渐近线(函数间断)曲线有斜渐近线吗？例10解第46页/共54页请同学课后自己绘出此函数的图形.第47页/共54页所以,该曲线无水平渐近线和垂直渐近线.例11解第48页/共54页现在给定一个函数,我们可以讨论它的：定义域、值域、奇偶性、有界性、周期性、连续性、间断点、可微性、单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线、零点位置.用极限讨论函数的变化趋势.用泰勒公式将函数离散化.第49页/共54页作函数图形的一般步骤如下：(1)确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性.(2)求函数的一、二阶导数,(3)列表,确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点.(4)