2023年山东省青岛市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年山东省青岛市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设y=5x，则y'=A.A.5xln5

B.5x/ln5

C.x5x-1

D.5xlnx

2.设y=e-5x，则dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

3.

4.微分方程y''-2y=ex的特解形式应设为（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

5.A.0B.1C.∞D.不存在但不是∞

6.

7.设函数y=ex-2,则dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

8.设y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且f"＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()．A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少

9.

10.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

11.构件承载能力不包括()。

A.强度B.刚度C.稳定性D.平衡性

12.

13.

14.下列命题中正确的有（）．A.A.

B.

C.

D.

15.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

16.

17.

18.

19.

20.

二、填空题(20题)21.函数x=ln(1＋x2-y2)的全微分dz=_________．

22.

23.

24.微分方程exy'=1的通解为______．

25.

26.二元函数z=xy2+arcsiny2，则=______．

27.

28.若当x→0时，2x2与为等价无穷小，则a=______．29.

30.

31.

32.微分方程y＋9y＝0的通解为________．33.

34.

35.

36.y″+5y′=0的特征方程为——．

37.

38.39.过原点且与直线垂直的平面方程为______．40.若=-2，则a=________。三、计算题(20题)41.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．42.43.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则44.

45.46.47.证明：48.求微分方程的通解．49.

50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．51.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．52.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

53.

54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

56.

57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．58.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答题(10题)61.62.计算63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

；D:x2+y2≤4。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A由导数公式可知(5x)'=5xln5，故选A。

2.A

3.A

4.A由方程知，其特征方程为，r2-2=0，有两个特征根r=±.又自由项f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可设为Aex.

5.D本题考查了函数的极限的知识点。

6.A

7.B

8.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

由于在(a，b)区间内f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选A．

9.C解析：

10.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

11.D

12.B

13.D

14.B本题考查的知识点为级数的性质．

可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．

15.D解析：

16.C解析：

17.A解析：

18.A

19.B

20.A

21.

22.

23.224.y=-e-x+C本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

由于方程为exy'=1，先变形为

变量分离dy=e-xdx．

两端积分

为所求通解．

25.

26.y2

；本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

只需将y，arcsiny2认作为常数，则

27.3x2siny28.6；本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

当于当x→0时，2x2与为等价无穷小，因此

可知a=6．

29.

30.e

31.-3sin3x-3sin3x解析：

32.

本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

33.本题考查的知识点为无穷小的性质。

34.

35.

解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

36.由特征方程的定义可知，所给方程的特征方程为

37.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．38.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

39.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．

由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=040.因为=a，所以a=-2。41.函数的定义域为

注意

42.

43.由等价无穷小量的定义可知44.由一阶线性微分方程通解公式有

45.

46.

47.

48.

49.

则

50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.

52.

53.

54.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

55.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

56.

57.

列表：

说