初高中数学衔接知识点专题(一)

ww初高中数学衔接知识点专题(一)★专题一数与式的运算【要点回顾】1．绝对值绝对值的代数意义：.即Ia1=.绝对值的几何意义：的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：|a-b表示的距离.两个绝对值不等式:IxI<a(a>0)o；Ixl>a(a>0)o2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：TOC\o"1-5"\h\z平方差公式：；完全平方和公式：；完全平方差公式：.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1](a+b+c)2=[公式2]=a[公式3]=a3-b3([公式3]=a3-b3(立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”.3■根式式子、万(a>0)叫做二次根式，其性质如下：⑴a)2=；(2)\；a2=；(3)xab=；(4)=.a平方根与算术平方根的概念：叫做a的平方根，记作x=±再(a>0)，其中、a(a>0)叫做a的算术平方根.立方根的概念：叫做a的立方根，记为x=3万4■分式AAA分式的意义形如£的式子，若B中含有字母，且B丰0，则称£为分式•当MmO时，分式云具有BBB下列性质：(1)；(2).繁分式当分式A的分子、分母中至少有一个是分式时，A就叫做繁分式，如m2-，BB2mn+p说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例题选讲】例1解下列不等式：(1)X—2<1(2)x—1+x—3>4.例2例2计算：(1)(X2一X+3)2(—m一一n)(m2+mn+—n2)52251043)(a+2)(a—2)(a4+4a2+16)4)(x2+2xy+y2)(x2—xy+y2)2例3已知x2一3x=1=0，求x3+的值.x3例4已知a+b+c=0，求a(—+)+b(—+)+c(—+)的值.bccaab例5计算(没有特殊说明，1)32+爲例5计算(没有特殊说明，1)32+爲本节中出现的字母均为正数)：(2)\.，，(1—x)2+(2-x)2(X>1)4)<x3+例例6求x3+y3的值.例7化简：(1)1)x2-276x解法一：原式=x2—1(1—x)-x(x+1)(x—1)解法二：原式=解：原式=x(x+1)x+1x—(1—x)-xx2+3x+96xx(1—x)x2—1x—x(x+1)x2x—1(x—3)(x2+3x+9)x(9—x2)2(3+x)x—3(x+3)(x—3)2(x—3)2(x+3)—12—(x—1)(x—3)—(x—3)23—x2(x+3)(x—3)2(x+3)(x—3)2(x+3)说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式【巩固练习】1．解不等式2．11x2+xy+y2设x二口'y二亍'求代数式的值．aba2+b23当3a2+ab—2b2二0(a丰0,b丰0)，求_-_的值.baab4．，求x4+x2+2x—1的值.5.计算(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)6．化简或计算：(1)(48-4：2+1、—忑72^3厂丁(2)2占•迈-抱三+右(3)xUx+x、；'yx+\：'xy+yxy-y2xfx-y^y(厂b-Jab)(a(4)农a+7^^Jb)'+-Ob-a•各专题参考答案•专题一数与式的运算参考答案例1(1)解法1：由X—2二0，得x二2；①若x>2，不等式可变为x—2v1，即xv3；②若xv2，不等式可变为—(x-2)<1，即—x+2<1,解得：x>1.综上所述，原不等式的解为1<x<3.解法2：|x—2表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式|x—2|<1的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧.所以原不等式的解为1<x<3.解法3：|x—2<1o—l<x—2<1o1<x<3，所以原不等式的解为1<x<3.(2)解法一：由x—1二0，得x二1；由x—3二0，得x二3；①若x<1，不等式可变为—(x一1)—(x一3)>4，即—2x+4>4,解得xVO,又x<1，/.xVO；②若1<x<2，不等式可变为(x—1)—(x—3)>4，即1>4,•••不存在满足条件的x；③若x>3，不等式可变为(x—1)+(x—3)>4，即2x—4>4，解得x>4.又x>3，•x>4.综上所述，原不等式的解为x<0，或x>4.TOC\o"1-5"\h\z解法二：如图，|x—1|表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x—1|；|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x—3|.比—31一.所以，不等式|x—1|+|x—3|>4的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2pCABD_可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x_0_134xlx—11—)2+2x2(lx—11—)2+2x2(—v2)x+2x2x—+2x—x(—弋2x)例2(1)解：原式=[x2+(—^2x)+3〕2=(x2)2+(—x)2+=x4一2\2x31原式=(5m)31原式=(5m)3—311m3—n312582)原式=(a2—4)(a4+4a2+42)=(a2)3—43=a6—64原式=(x+y)2(x2—xy+y2)2二[(x+y)(x2—xy+y2)]2二(x3+y3)2二x6+2x3y3+y6例3解：x2—3x=1=0x丰0x+丄=3x原式=(x+—)(x2—1+)=(x+—)[(x+—)2—3]=3(32—3)=18TOC\o"1-5"\h\zxx2xx例4解：a+b+c=0,.a+b=—c,b+c=—a,c+a=—bb+ca+ca+ba(—a)b(—b)c(—c)a2+b2+c2.原式=a-+b-+c-=++=——bcacabbcacababca3+b3=(a+b)[(a+b)2—3ab]=—c(c2—3ab)=—c3+3abc3abca3+b3+c3=3abc②，把②代入①得原式=—=—3abc例5解：(1)原式=y3)「=甞卓=6-3J3(2+73)(2-73)22—3(2)原式=lx—11+1x—21=(x—1)+(2)原式=lx—11+1x—21=(x—1)—(x—2)=1(1<x<2)说明：注意性质';方2=lal的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论.十,la+bJa2b+ab2原式=二abab原式=22x22x二J2X-xJX+2\[2X=3>/2X-xJX2x2例6解：x=二牛学=7+4.3,y=7—4富3nx+y=14,xy=1原式=(x+y)(x2—xy+y2)二(x+y)[(x+y)2—3xy]二14(142—3)二2702说明