初二数学根与系数的关系练习题

初二一元二次方程根与系数的关系习题的求根公式为［准备知识回顾］：1、一兀二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的求根公式为一b+x：b2一4ac2a(b2一4ac>0)。2、一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）根的判别式为：A=b2-4ac（1）当A>0时，方程有两个不相等的实数根。（2）当A=0时，方程有两个相等的实数根。（3）当Av0时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，贝V；方程有两个相等的实数根，则;方程没有实数根，则［韦达定理相关知识］1若一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）有两个实数根x和x，那么12x+x=，x•x=。我们把这两个结论称为一元1212二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。2、如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x和x，则x+x=，1212x•x=。123、以x和x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x+x）x+x•x=01212124、在一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）中，有一根为0，则c=;有一根为1，则a+b+c=;有一根为-1，则a-b+c=；若两根互为倒数，则c=；若两根互为相反数，则b=。5、二次三项式的因式分解（公式法）在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程33)ax2+bx+c=0（a丰0）的两个根x和x，那么ax2+bx+c=a（x一x）（x一x）.如果1212方程ax2+bx+c=0（a丰0）无根，则此二次三项式ax2+bx+c不能分解.［基础运用］例1:已知方程3x2-（k-1）x+2二0的一个根是1，则另一个根是，k二。解:变式训练:1、已知x=-1是方程3x2+2x+k=0的一个根，则另一根和k的值分别是多少?2、方程x2-kx-6=0的两个根都是整数，则k的值是多少？例2：设x和x是方程2x2+4x-3=0，的两个根，利用根与系数关系求下列各12式的值：(1)x2(1)x2+x212(2)(x+1)(x+1)1211—+—xx124)(x-x)212变式训练：1、已知关于x的方程3x2-10x+k=0有实数根，求满足下列条件的k值：（1）有两个实数根。（2）有两个正实数根。（3）有一个正数根和一个负数根。（4）两个根都小于2。2、已知关于x的方程x2-2ax+a=0。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2）a取何值时，方程有两个正根。（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大（4）a取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例3：已知方程ax2+bx+c=0(a丰0)的两根之比为1:2,判别式的值为1,则a与b是多少？例4、已知关于x的方程x2+2(m+2)x+m2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m的值。例5、若方程x2-4x+m=0与x2-x-2m=0有一个根相同，求m的值。基础训练：TOC\o"1-5"\h\z关于x的方程ax2-2x+1=0中，如果a<0，那么根的情况是()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)不能确定设x,x是方程2x2-6x+3=0的两根，则x2+x2的值是()1212(A)15(B)12(C)6(D)3下列方程中，有两个相等的实数根的是()(A)2y2+5=6y(B)X2+5=2\；5x(C)马3X2—\；2x+2=0(D)3x2—2”J6x+1=04•以方程X2+2x—3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是()(A)y2+5y—6=0(B)y2+5y＋6=0(C)y2—5y＋6=0(D)y2—5y—6=0如果x,x是两个不相等实数，且满足X2—2x=1,X2—2x=1,121122那么x•x等于()12(A)2(B)—2(C)1(D)—1关于x的方程ax2-2x+1=0中，如果a<0,那么根的情况是()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)不能确定设x,x是方程2x2—6x+3=0的两根，则X2+X2的值是()1212(A)15(B)12(C)6(D)3如果一兀二次方程X2+4x+k2=0有两个相等的实数根，那么k=如果关于x的方程2x2—(4k+1)x+2k2—1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是已知x,x是方程2x2—7x+4=0的两根，则x+x=,x・x=121212(x—X)2=12若关于X的方程(m2—2)x2—(m-2)x+1=0的两个根互为倒数，则m=.二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：(1)X2—x=5(2)9x2—6：J2+2=0(3)x2—x+2=o2、当m二时，方程X2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m二时，方程mx2+4x+l=0有两个不相等的实数根;3、已知关于x的方程10X2—(m+3)x+m-7=0，若有一个根为0，则m二，3这时方程的另一个根是；若两根之和为一匚，则m二，这时方程的5两个根为.4、已知3—寸2是方程X2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。5、求证：方程(m2+l)x2—2mx+(m2+4)=0没有实数根。6、求作一个一兀二次方程使它的两根分别是1—#5和1+\；5。7、设x,x是方程2x2+4x—3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值:12(1)(x+1)(x+1)12(1)(x+1)(x+1)12xx(2)t+1xx

123)x2+xx+2x11218、如果X2-2(m+l)x+m2+5是一个完全平方式，贝Um二;9、方程2x(mx-4)=X2-6没有实数根，则最小的整数m二；10、已知方程2(x—1)(x—3m)=x(m—4)两根的和与两根的积相等，则m二11、设关于x的方程X2-6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为12、设方程4x2—7x+3=0的两根为x,x，不解方程，求下列各式的值：121(1)x2+x2(2)x—x(3)认x、:x(4)xx2+，x1212屮1”2122113、实数s、t分别满足方程19s2+99s+1=0和且19+99t+t2=0求代数st+4s+1tst+4s+1t的值。14、已知a是实数，且方程X2+2ax+l=0有两个不相等的实根，试判别方程X2+2ax+l(a2X2—a2—1)=0有无实根？15、求证：不论k为何实数，关于x的式子(x—1)(x—2)—k2都可以分解成两个一次因式的积。16、实数K在什么范围取值时，方程kx2+2(k-1)x-(k-1)二0有实数正根?训练(一)1、不解方程，请判别下列方程根的情况；TOC\o"1-5"\h\z(1)212+31—4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+l)—7u=0,;2、若方程X2—(2m—1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;3、一元二次方程X2+px+q=0两个根分别是2+叮3和2—，则p=,q=;4、已知方程3x2—19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m=;5、若方程X2+mx—1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn=。7、已知关于x的方程X2—(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值；8、如果a和B是方程2x2+3x—1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于元二次方程，使它的两个根分别等于a+9、已知a,b,c是二角形的二边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形取什么实数时，二次三项式2x2—(4k+1)x+2k2—1可因式分解.

已知关于X的一元二次方程m2X2+2(3—m)x+l=O的两实数根为a,B,若s=~a+存，求s的取值范围。训练(二)1、已知方程X2—3x+1=0的两个根为a,B，则a+B二,aB二；2、如果关于x的方程x2—4x+m=0与x2—x—2m=0有一个根相同,则m的值3、已知方程3、已知方程2x2—3x+k=0的两根之差为2土，则k=TOC\o"1-5"\h\z4、若方程X2+(a2—2)x—3二0的两根是1和一3,贝Ua二;5、方程4x2—2(a-b)x—ab=0的根的判别式的值是;6、若关于x的方程X2+2(m—1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为；7、已知p<0,q<0，则一元二次方程X2+px+q=0的根的情况是_8、以方程X2—3x—1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是.9、设x,x是方程2x2—6x+3=0的两个根，求下列各式的值：12(1)x2x+xx2121211(2)xx1210．m取什么值时，方程2x2－（4m+1）x+2m2－1=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根11.设方程X2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式A=1，求p,q的值。12.是否存在实数k，使关于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的两个实根x,x12x3满足订，如果存在，试求出所有满足条件的k的值，如果不存在，请说明x22理由。元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax2+bx+c=0(aH0)的两根是x]、x2，那么x]+x2=,x]•x2=。2、已知x]、x2是方程2x2+3x—4二0的两个根，那B么：xi+x2二；x[・x2二；—+—；xx12x2]+x22=;(x]+])(x2+l)=;Ix]—x2I—。TOC\o"1-5"\h\z3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为])是。4、如果关于x的一元二次方程x2+^2x+a=0的一个根是1—「2,那么另一个根是,a的值为。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k=。6、已知方程2x2+mx—4=0两根的绝对值相等，则m二。7、一元二次方程px2+qx+r=0(pH0)的两根为0和一1,贝Uq:p=。&已知方程x2—mx+2=0的两根互为相反数，则m=。9、已知关于x的一元二次方程(a2—1)x2—(a+1)x+]=0两根互为倒数，则a=。10、已知关于x的一元二次方程mx2—4x—6=0的两根为x]和x2，且x]+x2=—2,则m=,(x]+x2)x1-x2二。11、已知方程3x2+x—1=0,要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改9为。12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为。13、若a、B为实数且|a+B—3|+(2—aB)2=0，则以a、B为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1)14、已知关于x的一元二次方程x2—2(m—1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则TOC\o"1-5"\h\zm二；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m二。15、已知方程x2+4x—2m=0的一个根a比另一个根B小4,则a二；B二；m二。16、已知关于x的方程x2—3x+k=0的两根立方和为0,则*=11317、已知关于x的方程x2—3mx+2(m—1)=0的两根为x］、x2，且一+一=-—，则xx412m二。18、关于x的方程2x2—3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。19、若方程x2—4x+m=0与x2—x—2m=0有一个根相同，则m二。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x—2=0两根的二倍，则所求的方程为。21、一元二次方程2x2—3x+1=0的两根与x2—3x+2=0的两根之间的关系是。22、已知方程5x2+mx—10=0的一根是一5，求方程的另一根及m的值。23、已知2+Y3是x2—4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+.B的无理数(A、B均为有理数)，那么另一个根必是A—、：B。25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大？(1)x2-运X-5=0,(2)x2-2花+^3=026、已知xi和X2是方程2x2—3x—1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：33x1x2+x1x227、已知xi和x2是方程2x2—3x—l二0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：11+-x2x21228、已知xi和x2是方程2x2—3x—1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(x21—x22)229、已知xi和x2是方程2x2—3x—1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：xi—x230、已知xi和x2是方程2x2—3x—1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x2—2x131、已知xi和X2是方程2x2—3x—1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x5i・x22+x2i•x5232、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+^6和2—。33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。34、造一个方程，使它的根是方程3x2—7x+2=0的根；(i)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。36、已知关于x的方程2x2—(m—1)x+m+1=0的两根满足关系式x]—x2=1,求m的值及两个根。37、a、B是关于x的方程4x2—4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足9q—1)(卩—1)-1=Z，求m的值。10038、已知一元二次方程8x2—(2m+l)x+m—7=0,根据下列条件，分别求出m的值:两根互为倒数；两根互为相反数；有一根为零；有一根为1；两根的平方和为丄。6439、已知方程x2+mx+4=0和x2—(m—2)x—16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。40、已知关于x的二次方程x2—2(a—2)x+a2—5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3,两根的平方和等于29，求b、c的值。42、设：3a2—6a—11=0,3b2—6b—11=0且aHb，求a4—b4的值。43、试确定使x2+(a—b)x+a二0的根同时为整数的整数a的值。44、已知一元二次方程(2k—3)x2+4kx+2k—5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。45、已知：a、B是关于x的方程x2+(m—2)x+1=0的两根，求(1+ma+a2)(1+mB+B2)的值。46、已知xi,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，xi+1、X2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。47、已矢口xi、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；yl、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x]—y1=2,x2—y2=2，求m、n的值。48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a—m2+6m—4二0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49、关于x的一元二次方程3x2—(4m2—1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。50、已知：a、B是关于x的二次方程：(m—2)x2+2(m—4)x+m—4=0的两个不等实根。若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；若a2+B2=6时，求m的值。51、已知关于x的方程mx2—nx+2=0两根相等，方程x2—4mx+3n二0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x2—(k+n)x+(k—m)=0—定有实数根。52、关于x的方程X2-2mx+1n2=0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底4边长。求证：这个方程有两个不相等的实根；若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根xi和x2(xiHx2),在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1,求p的值。54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为a、B,且两个关于x的方程x2+(a+1)x+B2二0与x2+(B+1)x+a2二0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根a、B,那么(a—l)2+(B—l)2的最小值是多少？56、已知方程2x2—5mx+3n=0的两根之比为2:3,方程x2—2nx+8m=0的两根相等(mnHO)。求证：对任意实数k,方程mx2+(n+k—l)x+k+l=0恒有实数根。57、(1)方程x2—3x+m=0的一个根是弋2,贝V另一个根是。(2)若关于y的方程y2—my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m,n应满足。58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x2－2x－1=0；60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积－2x2+3=0；61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0。62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是一2,求它的另一个根及m的值。63、已知关于x的方程3x2—l=tx的一个根是一2,求它的另一个根及t的值。64、设xi，X2是方程3x2—2x—2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(x1—4)(x2—4)；3443x1x2+x1x2；(3)x(3)x+I1込人1)x——23x丿133(4)x13+x23。65、设xi，X2是方程2x2—4x+1=0的两个根，求丨x]—x2丨的值。66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是xi和x2，方程x2—mx+n=0的两实根是xi+7和X2+7,求m和n的值。67、以2，－3为根的一元二次方程是()A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=068、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是()A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是()A.x2+2x－3=0B.x2－2x+3=0C.x2+2x+3=0D.x2－2x－3=0TOC\o"1-5"\h\z70、以一3,—2为根的一元二次方程为,以卞3—1,v3+1为根的一元二次方程为,22以5,—5为根的一元二次方程为,以4,-为根的一元二次方程为。471、已知两数之和为—7，两数之积为12，求这两个数。72、已知方程2x2—3x—3=0的两个根分别为a,b,利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)a+1.b+12b2a(2丿一ab773、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为2cm2，求这个直角三角形斜边的长。74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p,解得方程的根为1与一3；小王看错了q,解得方程的根为4与一2。这个方程的根应该是什么？75、关于x的方程X2—ax—3=0有一个根是1,则8=，另一个根是。76、若分式的值为0,贝收的值为x+1()A.—1B.3C.—1或3D.—3或177、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则()A.m=0且n±0B.n=0且m±0C.m=0且nW0D.n=0且mW078、已知x1，X2是方程2x2+3x—1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(2x1—3)(2x2—3)；33x1x2+x1x2。79、已知a2=1—a，b2=1—b，且aHb，求(a—1)(b—1)的值。

80、如果x=1是方程2x2—3mx+l=0的一个根，则m=，另一个根TOC\o"1-5"\h\z为。lll81、已知m2+m—4=0,+—-4=0,m,n为实数，且m丰一，则n