高中数学导数微积分测试题VIP

1、（2012

德州二模）如图，在边长为

π的正方形内的正弦曲线轴围成的地域记为

M（图中暗影部分），随机往正方形内投一个点

P，则点

P落在地域

M内的概率是A．

B．C．

D．答案：B分析：地域

M的面积为：

SM＝＝－

cosx＝2，而正方形的面积为

S＝，所以，所求概率为

P＝，选B。2、（2012济南三模）已知函数，若成立，则＝________.1答案：3分析：因为1f(x)dx＝12321＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4(3x＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1-1-11?a＝－1或a＝3.3、（2012莱芜3月模拟）函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为.【答案】【分析】4、（2012济南三模）已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是（A．B．C．D．

）答案：B分析：因为函数有两个极值，则有两个不一样的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过

AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过

AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选

B.5、（2012临沂

3月模拟）函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于

_________；【答案】

3【分析】函数的导数为，所以，即切线方程为，整理得。由解得交点坐标为，所以切线与函数围成的图形的面积为。6、（2012临沂二模）已知，是由直线，和曲线围成的曲边三角形地域，若向地域上随机投一点，点落在地域内的概率为，则的值是（A）（B）（C）（D）【答案】D【分析】区边三角形的面积为，地域的面积为1，若向地域上随机投一点，点落在地域内的概率，所以，所以，选D.7、（2012青岛二模）设，则二项式睁开式中不含．．项的系数和是A．B．C．D．【答案】C【分析】，所以，二项式为，睁开式的通项为，令，即，所以，所以的系数为，令，得全部项的系数和为，所以不含项的系数和为，选C.8、（2012青岛二模）已知函数的定义域为，部分对应值以下表，的导函数的图象以以下图.以下关于的命题：①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③假如当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点；⑤函数的零点个数可能为

0、1、2、3、4个．此中正确命题的序号是

．【答案】①②⑤【分析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递加，当或，，函数单调递减，当和，函数获得极大值，，当时，函数获得极小值,所以①正确；②正确；因为在当和，函数获得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值未知，所以没法判断函数有几个零点，所以④不正确，依据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），依据题意函数的极小值不确立，分或两种状况，由图象知，函数和的交点个数有0,1,2，3,4等不一样情况，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤。9、（2012青岛3月模拟）直线与抛物线所围成封闭图形的面积是A．B．C．D．16答案：C【分析】联立方程求得交点分别为所以暗影部分的面积为10、（2012日照5月模拟）如图，由曲线，直线与轴围成的暗影部分的面积是A）1B）2C）D）3答案：D【分析】由定积分的几何意义，暗影部分的面积等于选

D.11、（2012泰安一模）已知，

A是曲线与围成的地域，若向地域上随机投一点

P，则点

P落入地域

A的概率为A.

B.

C.

D.【答案】D【分析】本题为几何概率.地域的面积为.地域A的面积为，所以点P落入地域A的概率为，选D.12、（2012滨州二模）已知函数f（x）＝，g（x）＝elnx。I）设函数F（x）＝f（x）－g（x），求F（x）的单调区间；II）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx＋m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx＋m，对x∈（0，＋∞）恒成立，则称直线y＝kx＋m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）能否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明原由。分析：（I）因为函数f（x）＝，g（x）＝elnx，所以，F（x）＝f（x）－g（x）＝－elnx，则＝＝，当0＜x＜时，＜0，所以F（x）在（0，）上是减函数；当x＞时，＞0，所以F（x）在（，＋）上是增函数；所以，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，＋）。II）由（I）可知，当x＝时，F（x）获得最小值F（）＝0，则f（x）与g（x）的图象在x＝处有公共点（，）。假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）。故设其方程为：，即，由f（x）≥对x∈R恒成立，则对x∈R恒成立，所以，≤0成立，所以k＝，“分界线“的方程为：下边证明g（x）≤对x∈（0，＋∞）恒成立，设G（x）＝，则，所以当0＜x＜时，，当x＞时，＜0，当x＝时，G（x）获得最大值0，则g（x）≤对x∈（0，＋∞）恒成立，故所求“分界线“的方程为：13、（2012德州二模）设函数（I）求函数f（x）在点处的切线方程；II）设谈论函数的单调性；III）设函数，能否同时存在实数m和，使得对每一个，直线都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明原由。分析：（I）解：＝lnx＋1（x＞0），则函数在点处的斜率为＝2，f（e）＝e，所以，所求切线方程为y－e＝2（x－e），即y＝2x－eII）＝，令＝0，则x＝或，①当0＜＜2，即时，令＞0，解得0＜x＜或x＞令＜0，解得＜x＜所以，F（x）在（0，），（，＋）上单调递加，在（，）单调递减。②当＝2，即时，≥0恒成立，所以，F（x）在（0，＋）上单调递加。③当＞2，即时，所以，F（x）在（0，），（，＋）上单调递加，在（，）单调递减（III），令＝0，则x＝1，当x在区间内变化时，的变化状况以下表：－0+单调递减极小值1单调递加2又的值域为[1，2]。据经可得，若，则对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。而且对每一个，直线与曲线都没有公共点。综上，存在实数m=1和M＝2，使得对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。14、（2012德州一模）已知函数．求的单调区间；(Ⅱ)设，若对任意，总存在[0，1]，使得，务实数a的取值范围．分析：（I）。①当时，因为x＞0，故ax＋1＞0，＞0，所以f（x）的单调递加区间为（0，＋）。②当时，由＝0，得，在区间（0，－）上，＞0，在区间（－，＋）上，＜0，所以，当时，所以f（x）的单调递加区间为（0，＋）。当时，f（x）的单调递加区间为（0，－），f（x）的单调递减区间为（－，＋）（II）由已知，转变成，又＝g（0）＝1由（I）知，当，f（x）在（0，＋）增，域当，f（x）在（0，－）增，在（－，＋）减，故f（x）的极大即最大，，所以1＞－1－ln（－a），解得：a<-

R，故不吻合意。15、（2012南3月模）已知函数f（）=+lnx，此中a常数，e自然数的底xax数.1）当a=-1，求f（x）的最大；2）若f（x）在区（0，e］上的最大-3，求a的；3）当a=-1，推测方程=能否有数解.【答案】解：(1)当=-1，f（）=-+lnx，′(x)=－1+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分axxf当0<x<1，f′(x)>0；当x>1，f′(x)<0.∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数⋯⋯⋯⋯3分=f（1）=-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分①若≥，f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数a∴=f（e）=ae+1≥0.不合意⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分②若a<，由f′(x)>0>0，即0<x<由f(x)<0<0，即<x≤e.从而f(x)在上增函数,在减函数∴=f=-1+ln⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分令-1+ln=-3，ln=-2∴=，即a=.∵<,∴a=所求⋯⋯⋯⋯⋯9分(3)由（Ⅰ）知当a=-1=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,当0<x<e，g′(x)>0,g(x)在(0,e)增；当x>e,g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)减⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分∴=（）=<1,∴g(x)<1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分ge∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分∴方程|f（x）|=没有数解.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分16、（2012莱3月模）已知函数（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求数a的取范；（Ⅱ）令能否存在数a，当（e是自然常数），函数的最小是

3，若存在，求出的；若不存在，明原由；（Ⅲ）当，明：(22).解：解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立，令，有得

⋯⋯⋯⋯3分所以.

⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）假存在数

a，使有最小

3，.

⋯⋯⋯⋯5分①当，

g(x)在[0

，e]上减，（舍去）.②当，g(x)在上减，在上增，所以，足条件

.③当，

g(x)在[0

，e]上减，（舍去）

.上，存在数，使适合，

g(x)有最小

3.

⋯⋯⋯⋯10分(Ⅲ)令，由（

2）知，令，，当，，在上增，所以.所以,即.

⋯⋯⋯⋯14分17、（2012青二模）已知函数.（Ⅰ）求函数的极大；（Ⅱ）令（常数），判断函数的性；（Ⅲ）若任意，不等式均成立，求数的取范.解：（Ⅰ）,的定域;因为，由,当，；当，.在上增函数；在上减函数，从而.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ），，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分①当,即，，在上增函数；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分②当，即，.由,,（ⅰ）若，，，，在上增函数；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分(ⅱ)若，，，；，，在上增函数,在上减函数.综上可知：当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数.9分（Ⅲ）由,而，要对任意，不等式均成立，一定：与不一样时为

0.

11分因当且仅当时，

=0，所认为满足题意必有，即.

12分18、（2012青岛

3月模拟）已知函数

.（Ⅰ）记，求的极小值；（Ⅱ）若函数的图象上存在相互垂直的两条切线，务实数的值及相应的切点坐标

.解：（Ⅰ）由已知：，,由，或,当时，，在为增函数，此时不存在极值；当时，变化时，变化以下：0+0-0+极大极小由上表可知：.当时，变化时，变化以下：+0-0+极大极小由上表可知：.（Ⅱ）设两切点分别为，则即，方程的鉴识式,即,又，从而可得：上式要成立当且仅当，或此时方程的解为.，存在，此时函数的图象在点处的切线和在点处的切线相互垂直.19、（2012日照5月模拟）已知二次函数的一个零点是，函数，是自然对数的底数（Ⅰ）过坐标原点O作曲线的切线，证明切点的横坐标为1；

.设函数.（Ⅱ）令，若函数在区间（0，1］上是单调函数，求的取值范围。解：（Ⅰ）∵

-a

是二次函数的一个零点，∴

b=0..

2分设切点为则切线的斜率.整理得.明显，是这个方程的解.4分又因为在（0，）上是增函数，所以方程有独一实数解。故.6分（Ⅱ）7分设则.8分易知在上是减函数，从而.1）当2-a0，即时，，h(x)在间（0，1）上是增函数。∵在上恒成立，即在上恒成立。∴F(x)在区间上是减函数。所以，满足题意.10分2）当2-a<0，即a>2时，设函数的独一零点为，则在（0，）上递加，在上递减。又∵.又∵，h(x)在（0，1）内有独一一个零点，当时，h（x）<0,当时，h(x)>0.从而F（x）在（0，）递减，在（，1）递加，与在区间上是单调函数矛盾。∴a>2不合题意.综合（1）（2）得，.即a的取值范围是.14分20、（2012威海二模）已知函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的最值；（Ⅱ）谈论函数的单调性；（Ⅲ）当时，有恒成立，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，∴．∵的定义域为，∴由得．---------------------------2分∴在区间上的最值只可能在取到，而，∴．---------------------------4分（Ⅱ）．①当，即时，在单调递减；-------------5分②当时，在单调递加；----------------6分③当时，由得或（舍去）∴在单调递加，在上单调递减；--------------------8分综上，当时，在单调递加；当时，在单调递加，在上单调递减．当时，在单调递减；-----------------------9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，即原不等式等价于---------------------------10分即整理得∴，----------------------------11分又∵，所以的取值范围为.--------------------