上海音乐学院安师附属实验中学 2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

上海音乐学院安师附属实验中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的零点分别为，则的大小关系是A. B. C. D.参考答案：D由得。在坐标系中分别作出的图象，由图象可知，，，所以，选D.

2.已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对?x∈R，总有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（）A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最大值小于0，从而证出结论【解答】解：设g（x）=∴g′（x）=，∵对?x∈R，总有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减当x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，∴g（x）＜g（0）=0，∴＜0恒成立∴f（x）＜0恒成立，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．3.已知命题命题使，若命题“且”为真，则实数的取值范围是 ()A．

B．C．

D．参考答案：D4.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（） A．－1

B．1－log20132012

C．-log20132012

D．1参考答案：A略5.已知实数满足不等式组且的最小值为（

）A．3

B．4

C.5

D．6参考答案：A6.如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于轴的直线经过原点向右平行移动,在移动过程中扫过平面图形的面积为（图中阴影部分）,若函数的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知集合，集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,则该双曲线离心率等于(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知实数满足，则的最大值为（

）

A．9

B．17

C．5

D．15参考答案：B试题分析：由题意得，画出不等式组表示的平面区域，如图所示，由，解得，由，解得，当时，此时目标函数经过点时取得最大值，此时最大值为；当时，此时目标函数经过点时取得最大值，此时最大值为，所以的最大值为，故选B．考点：简单的线性规划．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数则

。参考答案：略12.如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.参考答案：13.函数的定义域是_________.参考答案：略14.执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为________.参考答案：15.我市教育管理部门用问卷调查的方式对市区1000名中学生开展了‘我爱读名著”活动情况调查，x(单位：小时）表示平均半学年度课外读书时间，现按读书时间分下列四种情况进行统计：1

0~10小时；

②10~20小时;

③20~30小时；④30小时以上。如右图是此次调查中数据统计过程的算法框图，已知输出的结果是680,

则平均半学年度课外读书时间不超过20小时的学生的频率是_______.参考答案：0.32

略16.若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为

.参考答案：因为线与旋转轴的夹角，设底面圆的半径为，则。所以底面圆的周长，所以该圆锥的侧面积。17.若，则的二项展开式中x2的系数为_______.参考答案：180由定积分的几何意义及可知，则展开式的通项，当即时，，故的系数为180。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知?=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简?=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵?=2，cosB=，∴c?acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．19.（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四边形BB1C1C是菱形，∠BCC1=60°．（1）求证：AC1⊥B1C；（2）若AC⊥AB1，三棱锥A﹣BB1C的体积为，求△ABC的面积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结BC1，推导出AB⊥B1C，B1C⊥BC1，从而B1C⊥平面ABC1，由此能求出AC1⊥B1C．（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，由三棱锥A﹣BB1C的体积为，求出菱形BB1C1C的边长，由此能求出△ABC的面积．【解答】证明：（1）连结BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AB⊥B1C，∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1，∵AC1?平面ABC1，∴AC1⊥B1C．解：（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，设菱形BB1C1C的边长为a，∵∠BCC1=60°，∴==3a2，∵AC⊥AB1，∴，∴AC=AB1=a，∵AB⊥侧面BB1C1C，BC?侧面BB1C1C，∴AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AB==，∵三棱锥A﹣BB1C的体积为，∴×，解得a=2，∴AB=，BC=a=2，∴△ABC的面积S△ABC=×BC×AB==．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.已知函数．（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时，．参考答案：（1）①时，无交点，②时，有1个交点，③时，无交点（2）详见解析

试题解析：（1）定义域为，的零点个数与的交点个数，①时，无交点，②时，有1个交点，③时，无交点．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）时，存在唯一，使，即，且时，单调递减，时，单调递增，∴，∴当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数零点，利用导数证不等式【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.21.（本题满分15分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆上点的距离的最小值。（Ⅰ）求曲线C1的方程。（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.参考答案：(Ⅰ)解法1:设M的坐标为,由已知得,易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以.化简得曲线的方程为.……5分解法2:由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,因此,曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,故其方程为.……5分(Ⅱ)当点P在直线上运动时,P的坐标为,又,则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为.于是……7分整理得

①设过P所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根,……………9分故

②

由得

③设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,则是方程③的两个实根,所以

④同理可得

⑤……12分于是由②,④,⑤三式得.所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.…15分22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求A的大小；（2）若，D为BC的中点，且，求△ABC的面积.参考答案：（1）由正弦定理知，所以,

即

…………2分所以，化简得，