上海育林中学2021年高三数学文月考试卷含解析

上海育林中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数z满足z(1-2i)=5(i为虚数单位），则复数z为

(A)1+2i

(B)2－i

(C)1-2i

(D)2＋i参考答案：A略2.定义域为R的函数y=f（x）对于任意x都有时的根的个数为

A．7

B．6

C．5

D．4参考答案：C3.（多选题）已知函数,则下列结论中正确的是(

)A.函数f(x)是周期为π的偶函数B.函数f(x)在区间上是减函数C.若函数f(x)的定义域为,则值域为D.函数f(x)的图像与的图像重合参考答案：BD【分析】根据余弦函数的性质一一验证即可得解.【详解】解：错，函数是周期为的函数，但不是偶函数；B正确，当时,，所以函数在区间上是减函数；C错，若函数的定义域为，则，其值域为；D正确，，故D正确.故选：【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题.4.函数的图象大致是（

）A. B. C. D.参考答案：D因为满足偶函数f（﹣x）=f（x）的定义，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，又x=0时，y=0，排除A、C，故选D.

5.函数的最大值为（

）A．-1

B．1

C．2

D．3参考答案：D6.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A.1033 B.1053C.1073 D.1093参考答案：D试题分析：设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.7.平面向量与夹角为，，则（

）

A.

B.

C.7

D.3参考答案：A8.设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N*时，f（n）∈N*，且f=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=(

)A．39 B．40 C．43 D．46参考答案：C【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】利用函数单调递增及n∈N*时，f（n）∈N*，通过赋值法，和简单的逻辑推理，即可得到f（4）的值．【解答】解：由f=2n+1，令n=1，2得：f=3，f=5．∵当n∈N*时，f（n）∈N*，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，①若f（1）=1，则由f=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；②若f（1）=2，则f（2）=3，则f（3）=5，则f（5）=7，则f（3）＜f（4）＜f（5）即5＜f（4）＜7，∴f（4）=6．f（6）=f（f（4））=2×4+1=9，f（7）=f（f（5））2×5+1=11．∴f（1）+f（2）+…+f（7）=2+3+5+6+7+9+11=43．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，抽象函数的应用，以及赋值法，考查推理能力，属于中档题．9.在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于

A.16

B.32

C.64

D.256参考答案：C略10.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A.32 B.16 C. D.参考答案：D【分析】根据三视图可知几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥，分别求解出三棱柱和三棱锥的体积，作差即可得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥如下图所示：则为中点，所求几何体体积：本题正确选项：【点睛】本题考查多面体体积的求解问题，关键是能够通过割补的方式来进行求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为10，则输出的

.参考答案：4略12.若过点A（4，0）的直线l与曲线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为

。参考答案：13.已知圆，直线过点P（3，1），则当直线被圆C截得的弦长最短时，直线的方程为__________．参考答案：略14.已知实数，满足，则的最大值为

．参考答案：15.已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA=2。那么三棱锥S-ABC的体积为__________.参考答案：由题设，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O为△ABC的垂心．

又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=．

因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB．所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角．故∠EFC=30°，OC=SCcos60°=，

SO=tg60°=×=3．

又OC=AB，故AB=OC=×=3．

所以，VS-ABC=．16.在等比数列{an}中，a1=，a4=4，则公比q=______________；a1+a2+…+an=_________________.参考答案：；本题考查了等比数列的概念以及等比数列的求和，难度中等．由题意可知，可得，所以。17.．已知实数、满足，则－3的最大值是_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；数列与函数的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先求导数，再求出f'（x）＞0时x的范围；并且求出f'（x）＜0时x的范围；进而解决单调性问题．（II）令g（x）=f（x）﹣ax3=x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）=，令h（x）=，求其导数，下面对a进行分类讨论：（1）当a≥时，（2）当0＜a＜时，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，最后综合得出实数a的取值范围．（III）在（II）中取a=，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，利用等比数列求和公式即可证明结论．解答：解：（I）函数的定义域为R，由于f′（x）=1﹣≥0，知f（x）是R上的增函数．（II）令g（x）=f（x）﹣ax3=x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）=，令h（x）=，则h′（x）=，（1）当a≥时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）=0，则x≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，注意g（0）=0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，（2）当0＜a＜时，在[0，]，h′（x）＞0，从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax3，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，综合，实数a的取值范围[，+∞）．（III）在（II）中取a=，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，则＜（）2n，∴点评：本小题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．解决此类问题的关键是熟练掌握求导该生并且利用导数解决函数的单调区间问题．19.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m值．（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+2y的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；摆线在刻画行星运动轨道中的作用．【分析】（1）求出圆的圆心和半径，根据垂径定理列出方程解出m；（2）求出曲线C的参数方程，将参数方程代入x+2y得到关于参数得三角函数，使用三角函数的性质得出最值．【解答】解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．∵，∴直线l的直角坐标方程为：y=x﹣m．即x﹣y﹣m=0．∵|AB|=，∴圆心到直线l的距离（弦心距）d=．即，解得m=1或m=3．（2）曲线C的参数方程为：（θ为参数），∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+2y=2+2cosθ+4sinθ=2+2sin（θ+φ）．∴x+2y的取值范围是[2﹣2，2+2]．20.如图，已知椭圆M：=1（a＞b＞0），其离心率为，两条准线之间的距离为．B，C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a，b，c的关系，计算即可得到；（2）分别求出直线PB，TC的方程，代入椭圆方程，求得交点E，F的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．解答：解：（1）由题意得e==，=，解得a=2，c=，b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）由B（0，1），C（0，﹣1），T（t，2），则直线TB：y=x+1，代入椭圆方程可得，（1+）x2+x=0，解得xE=，直线TC：y=x﹣1，代入椭圆方程可得xF=，k====?=?=，令t2+12=m＞12，则k==1+﹣≤，当且仅当m=24，即t=±2时，取得“=”，所以k的最大值为．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．21.如图，四棱柱的底面为菱形，且.（1）证明：四边形为矩形；（2）若，平面，求四棱柱的体积.参考答案：（1）证明:连接，设，连接.∵，∴.又为的中点，∴.∴平面，∴.∵，∴.又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.（2）解：由，可得，∴.由平面，可得平面平面，且交线为.过点作，垂足为点，则平面.因为平面,∴，即.在中，可得.所以四棱柱的体积为.22.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．（I）求椭圆的方程；（II）直线与椭圆相交于、两点，为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．参考答案：（I）依题意，可设椭圆的方程为．

由

∵椭圆经过点，则，解得∴椭圆的方程为······························································································（II）联立方程组，消去整理得·························∵