上海燎原高级中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

上海燎原高级中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为4，在平面内，是直线上的动点，则当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为A．2

B．±2

C．－2

D．参考答案：B3.“”是“”的

(

)A.充分必要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2

【答案解析】B

解析：∵，∴，但，α可以等于2π+；故是充分不必要条件，故选：B．【思路点拨】由可推出，但由推不出，问题得解．4.已知函数的图像的一条对称轴是，则函数的最大值是

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知数列{an}是等差数列，且a1+a4+a7=2，则cos（a3+a5）=A．

B．-

C．

D．-

参考答案：B【知识点】等差数列的性质∵等差数列{an}中，a1+a4+a7=3a4=2，∴a4=，又a3+a5=2a4=，∴cos（a3+a5）=cos=﹣，故选B.【思路点拨】利用等差数列的性质可得a3+a5=2a4=，从而可得答案．

6.已知直线，下列命题中真命题序号为________.①直线的斜率为；②存在实数，使得对任意的，直线恒过定点；③对任意非零实数，都有对任意的，直线与同一个定圆相切；④若圆上到直线距离为1的点恰好3个，则.A.①②

B.②③

C.②③④

D.①③④参考答案：C略7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.1参考答案：D【分析】先求出，然后将对数式换为指数式求再求【详解】两颗星的星等与亮度满足,令，，，，故选D.

8.圆x2+y2=2截直线x－y－1=0所得弦长为

(

)A、

B、

C、

D、参考答案：答案：A9.设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是

(

)A．若，，则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：D10.平面//平面的一个充分条件是A.存在一条直线

B.存在一条直线

C.存在两条平行直线

D.存在两条异面直线参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,则是最小正周期为的奇函数

最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数

最小正周期为的偶函数参考答案：12.已知m=3sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2cm﹣3的系数为．参考答案：﹣6480【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】求定积分得到m=6，再利用二项式定理求得展开式中ab2cm﹣3的系数即可．【解答】解：∵m=3sinxdx=﹣3cosx=6，∴二项式（a+2b﹣3c）6=[（2b﹣3c）+a]6展开式中含ab2c3的项为?a?（2b﹣3c）5；对于（2b﹣3c）5，含b2c3的项为?（2b）2?（﹣3c）3，故含ab2c3的项的系数为?22??（﹣3）3=﹣6480．故答案为：﹣6480．【点评】本题主要考查了定积分的计算与二项式定理的应用问题，是基础题目．13.知向量与的夹角为120°，且，则__

．参考答案：1314.已知函数（其中常数），若存在，，使得，则的取值范围为

．参考答案：15.在平面直角坐标系中，若点，，，则________．参考答案：16.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.参考答案：9【分析】根据频率分布直方图计算出日销售量不少于150个的频率，然后乘以30即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于150个的频率为，因此，这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为.故答案为9.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.17.无论k为何实数，直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是_______________.参考答案：

解析：要使曲线表示圆，需满足，即a>--2

因为直线恒过点（0，1）要使它们恒有交点，只需

综上可知a的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．（1）求证：AB⊥DE；（2）求三棱锥D﹣ABP的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）取AB中点O，连结OD，OE，通过证明AB⊥平面ODE，然后推出AB⊥DE．（2）利用等体积转化法，求解即可．【解答】解：（1）证明：取AB中点O，连结OD，OE，因为△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．因为四边形ABCD是直角梯形，，AB∥CD，所以四边形OBCD是平行四边形，OD∥BC，又AB⊥BC，所以AB⊥OD．所以AB⊥平面ODE，所以AB⊥DE．（2）解：=1，P为CE中点，则P到平面ABCD的距离为：．=．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，∴a的范围是（﹣2，3）．20.求函数的最大值。参考答案：解析：函数的定义域为，且

21.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．参考答案：(1)设日销量q＝，则＝100，∴k＝100e30，∴日销量q＝，

∴y＝(25≤x≤40)．(2)当t＝5时，y＝，y′＝，由y′>0，得x<26，由y′<0，得x>26，∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，∴当x＝26时，ymax＝100e4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．22.(本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过