上海漕泾中学2023年高三数学文联考试题含解析

上海漕泾中学2023年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=（﹣1）sinx的图象的大致形状是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值，判断即可．【解答】解：∵f（x）的函数的定义域为R，∴f（﹣x）=（﹣1）sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=﹣（2﹣﹣1）sinx=（﹣1）sinx=f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）关于y轴对称，当x=0时，f（0）=0，当x=1时，f（1）=（﹣1）sin1＜0，故选：B．2.已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]参考答案：A考点：分段函数的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论．解答：解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=，则πx=，即x=，当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=，解得x=，则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图）则由f（x）为偶函数，∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣，即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，解得≤x≤或≤x≤，即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，故选：A．点评：本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出x≥0时，不等式f（x）≤的解是解决本题的关键．3.函数的一个单调递增区间是

A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知满足，则在复平面内对应的点为（

）

A．(1,－1)

B．(1,1)

C．(－1,1)

D．(－1,－1)参考答案：C5.已知、都是定义在上的函数，，，．在区间上随机取一个数，的值介于4到8之间的概率是

A. B. C. D.参考答案：B6.若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量等于

（

）

A．（-1，1）

B．（1，-1）

C．（1，1）

D．（-1，-1）参考答案：C7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线C的方程为，则落入阴影部分的点的个数的估计为（

）A．5000

B．6667

C．7500

D．7854参考答案：B由题意，阴影部分的面积为，正方形的面积为1.∵正方形中随机投掷10000个点，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为故选B.8.双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A． B． C． D．参考答案：A由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过点做垂直OF因为得到;所以;故选A.

9.若函数在内有极小值，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D10.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A、30B、12C、24D、4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在2010年广州亚运会射箭项目比赛中，某运动员进行赛前热身训练，击中10环的概率为，反复射击.定义数列如下：，是此数列的前项的和，则事件发生的概率是

.

参考答案：略12.函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的xl∈D，仔在唯一的x2∈D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．已知f（x）=x3，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3在[1，2]上的几何平均数为

A．

B．2

C．4

D．

2参考答案：D略13.若曲线y＝lnx(x>0)的一条切线是直线y＝x＋b，则实数b的值为

参考答案：ln2－114.___________.参考答案：15.定义在上的函数是增函数，且，则满足的的取值范围是

.参考答案：16.与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。参考答案：、17.直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=．参考答案：﹣2【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先分别求出两直线的方向向量，然后根据l1的方向向量是l2的法向量，则两直线的方向向量垂直，最后根据互相垂直的向量的数量积为0，从而求出所求．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，∴直线l1的方向向量为=（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为=（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即?=1×1+（﹣a﹣3）×=0，解得a=﹣2，∴实数a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了直线的方向向量与法向量，以及利用空间向量数量积的运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）设、是函数的两个极值点．（1）若，求函数的解析式；（2）若，求的最大值；（3）设函数，，当时，求证：．参考答案：解：（1）∵，

∴

依题意有-1和2是方程的两根∴，

解得，∴．（经检验，适合）

……………3分（2）∵,依题意，是方程的两个根，∵且，∴．

∴，∴．∵

∴．

……………6分

设，则．

由得，由得．

即：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，

∴当时，有极大值为96，∴在上的最大值是96，∴的最大值为．……………8分

（3）证明：∵是方程的两根，∴．

∵，，

∴．∴

………10分∵，即

∴………13分

．

∴成立．

……………14分略19.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）设函数，（ⅰ）若函数有且仅有一个零点时，求的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若，，求的取值范围。参考答案：即

…………6分令，则

令，，在上是减函数…8分又，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又

，

即

………………14分

略20.已知数列中，，且点（）在直线上。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和。参考答案：（1）因为点在直线上，

所以，即，

因此数列为首项是1，公差是1的等差数列，所以。

（2）由，得，所以，

，两式相减得，，

所以。21.给定整数，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数

与

是互素的合数．（这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．）参考答案：证明：我们用表示有限数集X中元素的算术平均．第一步，我们证明，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，有．证明：对任意，，设正整数k满足

，

①并设l是使的最小正整数．我们首先证明必有．

事实上，设是A中最大的数，则由，易知A中至多有个元素，即，故．又由的定义知，故由①知．特别地有．此外，显然，故由l的定义可知．于是我们有．若，则；否则有，则

．由于是A中最大元，故上式表明．结合即知．现在，若有的两个不同的非空子集A，B，使得，则由上述证明知，故，但这等式两边分别是A，B的元素和，利用易知必须A=B，矛盾．第二步，设K是一个固定的正整数，，我们证明，对任何正整数x，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，数与是两个互素的整数．事实上，由的定义易知，有的两个子集，满足，，且

．

②显然及都是整数，故由上式知与都是正整数．现在设正整数d是与的一个公约数，则是d的倍数，故由②可知，但由K的选取及的构作可知，是小于K的非零整数，故它是的约数，从而．再结合及②可知d=1，故与互素．第三步，我们证明，可选择正整数x，使得中的数都是合数．由于素数有无穷多个，故可选择n个互不相同且均大于K的素数．将中元素记为，则，且（对），故由中国剩余定理可知，同余方程组，有正整数解．

任取这样一个解x，则相应的集合中每一项显然都是合数．结合第二步的结果，这一n元集合满足问题的全部要求．22.（本小题满分12分）已知函数，其中为使能在时取得最大值的