2023年高考数学一轮复习（艺考）第03讲 二项式定理高频考点（解析版）

文档来源网络仅供参考侵权删除第03讲二项式定理(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：二项展开式的通项及其应用角度1：求二项展开式的特定项（或系数）角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题题型二：二项式系数与各项的系数和问题题型三：项式系数的性质角度1:二项式系数最大问题角度2：系数最大问题第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：二项式定理（1）二项式定理一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.（2）二项展开式公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.（3）二项式系数与项的系数二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.（4）二项展开式的通项二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.知识点二：二项式系数的性质①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.知识点三：各二项式系数和（1）展开式的各二项式系数和：；（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：二项展开式的通项及其应用角度1：求二项展开式的特定项（或系数）典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知的展开式的各项系数之和为81，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由题意，令得：，解得：．故选：B例题2．（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测）的展开式中的常数项为___________.【答案】24【详解】解：由通项公式得:,令,即可得,所以展开式的常数项为:.故答案为：24例题3．（2022·云南师大附中高三阶段练习）在的展开式中，的系数为8，则实数的值为______．【答案】2【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以系数是，解得．故答案为：2.例题4．（2022·浙江绍兴·一模）的展开式中常数项为______.（用数字作答）【答案】84【详解】根据通项公式,令,解得,所以,故答案为:84.同类题型归类练1．（2022·四川广安·高三阶段练习（理））在展开式中的系数为24，则实数的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【详解】解：展开式中的系数为，解得.故选：D.2．（2022·上海市延安中学高三期中）的二项展开式中，的系数为_________.【答案】【详解】的二项展开式通项为，令，解得，所以，所以的系数为，故答案为：.3．（2022·四川雅安·模拟预测（理））在的展开式中，的系数为，则______．【答案】##【详解】的展开式中，含的项为，所以.故答案为：4．（2022·上海奉贤·高三期中）在的展开式中，的系数为______．【答案】1【详解】展开式的通项公式为，令，解得，即的系数为，故答案为：1角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）的展开式中的系数是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【详解】由知展开式中含有的项为：和，所以展开式中的系数为：4+8=12故选：C．例题2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）的展开式中，的系数为_________.（用数字作答）【答案】–256【详解】展开式的通项公式为：，展开式中含x项为：，∴展开式中含项的系数为–256.故答案为：例题3．（2022·吉林·长春外国语学校高二期中）的展开式中，记项的系数为，则______．【答案】30【详解】含有的项为，则；含有的项为，则；则.故答案为：30.同类题型归类练1．（2022·浙江·高二期中）的展开式中所有项的系数和为________．【答案】0【详解】令有，故的展开式中所有项的系数和为0.故答案为：02．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习）的展开式中含项的系数是__________（结果用数字表示）.【答案】【详解】展开式中含项的系数是.故答案为：3．（2022·云南普洱·高二期末）的展开式的常数项为_______．【答案】【详解】由于，故展开式的常数项为，故答案为：．角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2022·全国·高二单元测试）的展开式中的系数为（

）A．42 B．56 C．62 D．66【答案】B【详解】，故的系数为.故选B.一题多解可以看成4个相乘，展开式中可以在1个里选择，在1个里选择，在剩下的因式中选择2，此时的系数为，也可以在3个中各选1个，剩下的因式中选择2，此时的系数为，综上所述，展开式中的系数为.故选B.例题2．（2022·辽宁·模拟预测）记的展开式中含项的系数为（其中），则函数的最小值为（

）A．﹣45 B．﹣15 C．0 D．15【答案】A【详解】由二项式展开式得：含项的系数为，即．故选：A．例题3．（2022·全国·高二单元测试）的展开式中所有不含的项的系数之和为（

）A． B． C．10 D．64【答案】A【详解】在的展开式中，通项公式为若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项.令，得这些项的系数之和为故选：同类题型归类练1．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）关于的展开式，下列结论不正确的是（

）A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0C．常数项为 D．系数最大的项为第3项【答案】D【详解】解：，可得二项式系数和为，故A正确；令得所有项的系数和为0，故B正确；常数项，故C正确；，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.故选：D.2．（2022·安徽·高二期中）的展开式中含项的系数为（

）A．－120 B．120 C．－60 D．60【答案】A【详解】由题意得，的展开式中含项为．故选：A．3．（2022·浙江邵外高二阶段练习）的展开式的各项系数和为，则a的值是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】B【详解】∵的展开式的各项系数和为-32，令，可得，故（1-，解得，故选：B.题型二：二项式系数与各项的系数和问题典型例题例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【详解】由题意可知：，故选：A例题2．（2022·浙江邵外高二期中）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，所以，.故选：A.例题3．（2022·浙江·绍兴一中高三期中）的展开式中，所有项的二项式系数之和为________.【答案】【详解】在展开式中，所有项的二项式系数和为.故答案为：.例题4．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）若展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为______．【答案】5670【详解】因为二项式系数和等于,所以,由二项式展开式通项公式,令解得,所以常数项为.故答案为:5670.例题5．（2022·上海市杨思高级中学高三期中）已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为___________.【答案】1120【详解】所有二项式系数的和为256,,,则展开式的通项公式为，令可得，展开式的常数项为.故答案为：1120.同类题型归类练1．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）求的展开式的第4项的二项式系数（

）A． B． C．15 D．20【答案】D【详解】由二项展开式的二项式系数的性质，可得二项式的展开式的第4项的二项式系数.故选：D.2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（

）．A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【详解】根据二项式系数的对称性知，则，故选：C．3．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的项数为___________【答案】【详解】由题意，二项式的展开式的二项式系数之和为，令，可得展开式的各项系数之和为，因为二项式系数之和与各项系数之和比为，可得，即，解得，所以二项式展开式的项数为.故答案为：.4．（2022·北京八十中高二期中）二项式的展开式中各项的二项式系数之和为________.【答案】32【详解】由，即二项式系数和为32.故答案为：325．（2022·山东德州·模拟预测）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的常数项为______．【答案】【详解】解：由题意得：令，则，所以的展开式中，各项系数和为又二项式系数和为，所以，解得．二项展开式的通项，令，得所以展开式的常数项为．故答案为：．题型三：项式系数的性质角度1:二项式系数最大问题典型例题例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为第（

）项.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】的展开式通项公式为，则第3项的系数为，倒数第3项的系数为，因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，所以，所以，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，故选：C例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】由题意可知,,,即,，解得．故选：C．例题3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.【答案】##【详解】解：因为（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，所以，解得所以展开式的通项为，由得，，所以常数项为第四项．故答案为：例题4．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）在二项式的展开式中.(1)求的系数；(2)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1)60(2)(1)（1）的展开式的通项公式为，当，即时，的系数，即的系数为60(2)二项式的展开式第项的二项式系数为，因为，即展开式中二项式系数最大的项为，故展开式中二项式系数最大的项为同类题型归类练1．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则∴展开式的通项为则该展开式中各项系数若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得∴系数的最小值为故选：C.2．（2022·湖南益阳·高二期末）在的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ABC【详解】解：已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则，或，或，故选：ABC．3．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）在已知的展开式中各项的二项式系数之和为32．(1)求；(2)求展开式各项系数之和；(3)求展开式中二项式系数取得最大值的项．【答案】(1)(2)(3)，(1)由题知：，解得.(2)因为，令得，所以展开式各项系数之和为.(3)因为，所以展开式中第项和第项的二项式系数最大，因为，，，.4．（2022·全国·高二专题练习）已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项．【答案】，【详解】解：令，则展开式中各项系数和为，又∵展开式中二项式系数和为，∴，即．∵，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，．角度2：系数最大问题典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）按降幕排列的展开式中，系数最大的项是（

）A．第项和第项 B．第项C．第项和第项 D．第项【答案】B【详解】因为的展开式通项为，其中第项和第项的二项式系数最大，但第项的系数为正，第项的系数为负，故按降幕排列的展开式中，系数最大的项是第项.故选：B.例题2．（2022·河南河南·三模（理））已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为______．【答案】1120【详解】设展开式的通项为，故第四项的系数为，倒数第四项的系数，所以，，解得，所以第五项二项式系数最大，故最大项的系数为.故答案为:1120例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中系数最大的项．【答案】(1)证明见解析(2)第二项和第三项(1)证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，，（舍）或.二项展开式中第项，令，所以展开式中没有常数项得证.(2)由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得，又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项.例题4．（2022·全国·高二单元测试）在的展开式中.求：（1）所有项的系数和；（2）的系数；（3）系数最大的项.【答