数学模型与建模简介

一 1985年在出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为MathematicalCompetitioninModeling,1988MathematicalContestinModeling,MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前只有一种大学生数学竞赛（ThewilliamLowellPutnammathematialCompetition,简称Putman(普特南)数学竞赛这是由数学MAA--即MathematicalAssociation23月进行。学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进大部分的数模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中，例如，95年的一道题是空中飞行管理的问题，98年A题“投资的收益与风险”，B题是“实情的巡视路线”，去年C题“的使用计划”，D题“公人最大承量为20人要求在流乘客车时间不过5分客低峰期车时间超过1550%1)2)““唯一的)报的成是一“”。用数学和计算机分析问题解决问题的能力、团队精神和自我的精神等方面都有较大提高，受益匪浅。校的教学，尤其是相关课程的开设，将这些创新的教学理论渗透到整个教学体系之中，使的同学知识和能力是构成一个人的素质的主要成份，知识是能力的基础，能力是对知识的运用和发展。由于数学建模是以解决实际问题和培养学生应用数学的能力为目的的，它的教学内容和方式是多种多样的从看有强调数方法的强调问题有的调分析决问的过程教学方来看有的讲为有的练为有的数学中让学探索的带领生到事业中合作（1）.数学建模有利于培养学生洞察能力。许多问题往往不是数学化的，这就是需要建模工作者从实际工作提供的中抓住其数学本质；（2）.数学建模可培养数学语言翻译能力，即把经过一定抽象和简化的实际用数学的语言表达出来，形（3）.数学建模有利于培养综合应用分析能力和联想能力。用已学到的数学思想和方法进行综合的知识和经验，在个性品质支持下，新颖而独特地提出问题、解决问题，并由此产生有价值的新思想、新方法、新成果。改变以教师为中心、以课堂为中心、以为中心的教学方式，逐渐向以学生为中心、以实践为中心、以培养学生分析和解决问题的能力为中心的学习方式过渡。数学建模竞赛,建立一,开展数学建模教学活动是培养学生的创新能力的重要途径。利用数学软件或编程解决问题，给出初步结论。学生完成后进行讨论，教师主要起引导、启发和辅导的作用。教学过程的重点是创造一个环境去诱发学生的学习、培养他们的能力。某工厂制造A、B两种产品，制造A每吨需用煤9t，电力4kW，3个工作日；制造产品B每吨需用煤5t5kW，10个工作日。已知制造产品A和产品B每吨分别712万元，由于该厂条件限制，只有煤360t，电力200kW，300个工作日可以利用，问A、B两种产品各应生产多少吨才能获利分析x1x2分别表示A、B产品的计划生产数（单位为吨，f表示利润（单位为万元。则本问题可（LP）：

f7x19x15x24x5xs.t 3x110x2x1 x1这种生产任务的安排实际上就是一项决策x1、x2称为决策变量，若把(x1,x2)视为向量，就称为决策向量，满足约束条件的(x1,x2称为可行决策。为了判别决策的优劣，决策者必须选定一个指标，一般模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学（估计。模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,否否是否是否--2：人口模型（一）Malthus（1）t时刻到ttx(tt)x(t)

0x(t)x0

模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06109x(t)3.06109e0.02(t

351倍，而上式算出每34.61倍。事实上，可假设在Ttt0 1倍，即当tt时，x3.06109，当Ttt时，2x3.06109e002 解出T50ln234.657

2 0tt1790,x(1790)3.9106,x(1800)0

，由此定

r

，故x(t)3.9106e003%(t1790)，对它进行计算并与实际人口进行比较，发现有较大的差异利用（**）式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论：当t2670x(t)4.4101520人。显然，用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率的估计过高，由此，可以对r是常数的假设提出疑问。（二）如何对增长率r进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命生存所人口较少时，可以把增长率r看成常数，那么当人口增加到一定数量之后，就应当视r增加而减小的量，即将增长率rx(tr(x)x(t（1）r(xxr(xrsx（2）自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数xmxxm时，增长率r(xm)0。模型建立与求解：由假设可得r(x)r(1

x x

r1 0)x(t)

m

r(tt1

d2r

212

x1x

2xx

x(t

xm

xmt

x(t)xmx0xm x

0xxm

x0x(t（***）xxm x

d2

0xx(txxm2

d2

0xx(tdxxxm m Malthus模型一样，代入一些实际数据验算，若取1790tt0x3.9106，x197106r0.3134。可以看出，直到1930年，计算结果与实际数据都能较好的吻合，在1930m xm（三）Malthus模型上增加一个竞争项bx2b0b较大，故建立方程

x(abx),(a,b

x(t)

(a

)ea(tt0

d2x dt

x(t0limx(ta（2）当0xa时，x(t0t x0x(t)0xax(t)0x(t（3）当0xb

a时x(t)0x(ta

xa时x(t0x(t为凸b令（#）0x0xa6-8

x(t)a

t ax0b3.910623.210692.0106

)

,x(t)x,

)

，其中t

t

x12x2

(a11

(abxa1t

x2(x1x0)x0(x2x1a(xeaxb 10xx(ea10x(t)

a，则可得ea(tt0)

a

x(t)

a/1ea(tta1.97109a0.031t1914.3，则（##）bx(t)1e0031(t1914人口的增长情况进行预测，据生态学家估计a0.029，人口为3.06108时，平均纯增长率为每年可得a9.86109为世界人口的极限值。根 b.（二）（三）（一般不是唯一答案 (二).G=（V,E）Hamiton(哈密尔顿)H路；Hamiton(哈密尔顿)H一般说来，一个最佳H权并不一定是最佳回路。定理1：若 图G满足三角不等式，则最佳H圈也是最佳推销回路。定理2：在 完备图G中最佳H圈问题是一个N-P完全问题。n个顶点的完备图中，有(n-1)!/2H圈。N-PH圈，有以下近似算法：（三）（四）或时间）最小，此即最佳回路问题.在图G中求最佳回路问题是NP—完全问题我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似算法一求图G（V，E）的最佳回路的近似算法用图论软件包求出GG(VE)x,yEx,yMindGx,输入图GH随机搜索出G中若干个H20005步求出的所有HH圈的近似解问题一若分为三组巡视，设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线此问题是多个的最佳回路问题.即在图G中求顶点集V的划分V1,V2,.......Vn，将 顶点OnViVGn i MaxCiC

i,

其中C为V的导出子图GV中的最 回路，C为Maxi

n

MaxCiCj定 称0

i,

i

Ci

为该分组的实际均衡度.为最大容许均衡度显然0010越小，说明分组的均衡性越好.取定一个后，0与满足条件（3）的分组问题由于单个的最佳回路问题不存在多项式时间内的精确算法，故多个的问题也不存在多项式时间内的精确算法.而图53个，我们只能去寻求一种较合理的划分准则，对图OO点到该点的最短路.O点到其余顶点O6条干枝，它们的名称分别为①，②，③，④，⑤，⑥.（⑥，①（②，③（⑤，④）（①，②（③，④（⑤，⑥）11-10H2步输入的初始圈. I7--8-4-D-3-因为该分组的均衡度0C1C2241.9125.5

MaxCi

C，2，3，D，4分给第Ⅲ组（2为这两组的公共点，重新分2.因该分组的均衡度

C3C1216.4191.1 I I

问题二当巡视人员在各乡（镇24小时内完成巡 为分的组数).i44组.

6924i6917.2524-17.25=6.75小时.4公里来计算 时间约为599.817小时，若平均分配给4个组，每个组约需17=4.25小时〈6.75 佳巡回，得出路线长度及行走时间，从而得出完成巡视的近似最佳时间.用算法一计算时，初始圈 IR6—M—2—该分组实际均衡度22.7421.69 五 ABA非线调的频率设B足球队A[2],28-BAB[2],55-AB[2],93-AB[2],124-ABABADNABABABAB矿石的问ABABDVD租赁方[1]《数学的实践与认识》,（季）,中国数学会编辑InternationalAssociationforMathematicalandComputerModellingHomeAppliedMathematicalModellingAppliedMathematicsandEuropeanJournalofAppliedMathematicsIMATheIMAJournalofAppliedMathematicsSIAMJournalonAppliedJournalMathematicalModellingand ysis-Journalof modelling SIAMTheJournalofUndergraduteMathematicsand书《数学模型》,姜启源著，高等教育《生命科学模型》W.F.lucas主编，国防教育《数学模型基础》,著,中国《数学建模精品案例》,朱道元著,东南大学《数学模型与数学建模》,刘来福,曾文艺著,师范大学《数学建模入门》,,浩,电子《数学模型》,杨启帆,边馥萍,浙江大学*1.2003年大学生数学建模竞赛优秀集(《工程数学学报》2003年7期 /2002年大学生数学建模竞赛优秀集(《工程数学学报》2003年5期) 5元/本，10/《学生数学建模竞赛》第二版（李大潜主编*6.《2003年大学生数学建模竞赛（MCM、ICM）优秀集7.《2002年大学生数学建模竞赛(MCM)优秀集(资料7包 所有竞赛题目均可以从以下之一 保我们仔细阅读了学生数学建模竞赛的竞赛规则,我们完全明白在竞赛开始后不能以任何方式与队外的任何人（包括指导教师）讨论竞赛题的求解问题,别人的成果也是竞赛规则的,如,参赛队员(签名指导教师(签名各赛区可对第一页增加其他要求，此时参赛队可在第一页中按照要求增加其他内容题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。中其他汉字一律采用小4号宋体字，行提请大家注意：在整篇评阅中占有重重，请认真书写别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文处和参考文献中均明确列出。正文处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；书籍还必须页码。参考文献按正文中的次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号]作者，书名，地：，年[编号]作者，名，杂志名，卷期号：起止页码，年[编号]作者，资源标题，，时间（年月日 A题血管的三维重建断面可用于了解生物组织、等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐1000.bmp1.bmp99.bmp，格式均为BMP，宽、为512个象素（pixel。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有1。Z1Z=0，100Z=99。Z=z256，z（-256，255，z256，z（-255，255，z256，z（55，z…（25，25，zXY、YZ、ZX第2页是100张平行切片图象中的6张，全部图象请从网上。B 5分钟，车辆满载率不应超过120%50%。，如果要设计更好的调度方案，应如何运营数据。， 上行方向：A13开往111上0下089上0下0上0下0上0下0上下上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上下上0下0上0下0上0下0上90下0上下上3210下03358 下行方向：A0开往121上342443331100下021上下上0下0上0下0上0下0上下上0下0上0下0上0下0上0下0上下上0下0上0下0上0下0上下上0下0上0下A题、B答卷用白色A4纸，第一页为空白页（用于赛区或对进行编号 A题安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫F25AFA垂直，用AC=2AB=2.6C点的光强度不小于某一额定值（1个单位，B点的光强度不小于该额B题中的数0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与号码相符的个数多少及顺序确定等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明等级，如表一（X表示未选中的号码。中等 选基本号 说g7中7中 7中 7中abcXXX 7中abXXXX XXcdXX 7中基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复，根据单注号码与号码相符的个数多少确定相应的等级，不考虑号码顺序。又如“36选别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复，根据单注号码与号码相符的个数多少确定相应的等级，不考虑号码顺序。这两种方案的等级如表二。中等奖级 选选基本号码特别号码说明说7中★7中 7中7中7中★7中 7中7中7中★7中 7中7中7中★7中以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，者单注金额为2元，单注若已得到高级别的等因素评价各方案的合理性。奖比比比金金金金备1253545556575859556562555542号551B25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石在一个班次（8）内满足品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均3每个铲位到每个卸点的道路都是的宽60m的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都铲位铲位铲位1矿漏倒岩漏倒铲位1铲位矿量岩量铁量A感谢：市市政管理市城市规划提供场馆规划2008年奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边地、图1给出了比赛主场馆的规划图。作为图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分道（白色为人行道）车站地铁站出租车站私车停车场餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄域是规定的设计MS网点的20个商区。、为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（3）通过对预演的运动会1220（用百分比表示）。MS），以满足上述三个基本要求。（水立方）41其中分4档：1）20岁以下，2）20—30岁，3）30—50岁，4）50岁以上；出行方式分4种：出租、3（非餐饮）61）0—100，2）100—200，3）200—300，4）300—400，5）400—500，6）500（元）。图1（A：国家体育场（），B:国家体育馆，C:国家游泳中心（水立方B我国电力系统的市场化正在积极、稳步地进行。2003年3月国家电力成立，2003年6月该列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟l个被选入的段价（最高段价）称为该时段的价，该时段全部机组的所有出力均按价结算。1、当前时段各机组出力分配方案的执行，调度AGC辅助服务，在此基础上给出各机组的当前出24、计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线的有功潮流，判断是否会出现输电阻塞。如l但要使每条线潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小。如果无论怎样分配机组出力都无法使每条线的潮流绝对值超过限值的百分比小于相对安全某电网有8发电机组，6要线路1和表2方案0出了各机组的当前出力和各线路假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW345给出了各机组的段容量、段价和C 根据你做的模型并结合新的写一篇短文，给想喝一点酒的如何驾车提出忠告。体重约70kg的在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中含量（毫克／百D题招我国制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家暂行条例》规定：“国家行政机关录用担任科员以下的非职务的国家，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前,我国招聘的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优A/B/C/D（三）由招聘小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用,并分配到各个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、(2)技术管理、(3)行政、(4)公共事业。见表2所示。招聘小组在确定录用的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（1）。请研究(4)你对上述招聘过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。表2:用人部门的基本情况及对的期望要甲组参赛队从A、BC、D第二页为编号页，用于赛区和评阅前后对进行编号，具体内容和格式见第题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。中其他汉字一律采用小4号黑色宋评阅时将首先根据和整体结构及概貌对优劣进行初步筛选。别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文处和参考文献中均明确列出。正文处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；书籍 [编号]作者，书名，地：，年。参考文献中期杂志的表述方式为：[编号]作者，名，杂志名，卷期号：起止页码，年。[编号]作者，资源标题，，时间（年月日）页和其他信息，或在的最后增加空白页等）；从承诺书开始到正文结束前，各赛区不得有与去年格式相同），然后送评阅。第二页（编号页）由评阅前取下保存，同时在第二20049我们仔细阅读了学生数学建模竞赛的竞赛规则我们知道，别人的成果是竞赛规则的,如果别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。竞赛规则的行为，参赛队员(签名)：指导教师或指导教师组(签名2004高教社杯大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区评阅前进行编号）：统一编号（由赛区送交前编号）：\A题:是重中之重。专家们呼吁“，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染”的高度重视。2004年10月，由与中国发展联合组成“保护长江行”团，从长江上游宜宾到下游，对沿线21个重点城市做了实地，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程（１，了“拿什么拯救长江”的呼唤（附件2317个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。请研究下列问题1020%附表:《地表水环境质量标准（GB3838—2002）中4个主要项目标准限 标项1 （653202高锰酸盐指数(CODMn)246∞3 ∞46---（注：附件１ 位于压缩文 中 可B题：DVD租随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元一。许多利用其强大的资源务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括范围广泛、直达消费群、互动性、感官性。考虑如下的DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有，只要提交订单，就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的会