高等数学第五周讲义商学院

第二章导数与微分11第一章小结及习题选讲1、注意：求极限时注意分辨变量一、极限定义、判定及求法第二章导数与微分22辨析3、如判断：函数是否无界，是否为x趋于正无穷大时的无穷大量。1.是否存在?为什么?问2.若为无穷小，存在，问是否为无穷小。第二章导数与微分33又如：第二章导数与微分44如何判断函数在某点极限是否存在、是否连续利用定义、或利用左右极限是否存在且相等证明函数在某点是否存在极限；证明其是否左右连续证明是否连续。第二章导数与微分55二、掌握求极限的常用方法法1、用极限的四则运算法则求。第二章导数与微分66用初等方法变形后用法则求。（因式分解、分子或分母有理化、约分等）第二章导数与微分77常见的等价无穷小：法2、用等价无穷小替换求极限第二章导数与微分88求极限：第二章导数与微分99法3、用换元求极限(1)(2)(3)第二章导数与微分1010法4、用极限存在准则求（2）求数列的极限。（1）证明：第二章导数与微分1111三、函数是否连续的判断，会求函数的间断点（间断点的来源：函数无定义的点、分段函数的分界点。的连续性，若有间断点，判别其类型。如讨论函数如：判断x=0是什么类型的间断点。第二章导数与微分1212四、利用连续函数的性质讨论方程的根。习题1-10：1第二章导数与微分131313课后作业：习题1-7：p59：2、3、4（1，3）习题1-9：p69：1、4（1，2、3、4）、6习题1-10：p74：2第二章导数与微分14第二章导数与微分第一节导数的概念

第二章导数与微分15

引例1.变速直线运动的瞬时速度设物体位移与时间的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为求此物体在t0时刻的速度。第二章导数与微分162.曲线在某点的切线割线MN

的斜率曲线在x0的切线斜率第二章导数与微分17属同类数学问题瞬时速度切线斜率第二章导数与微分18二、函数在一点处可导定义.

设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,

在点处可导,

在点的导数.第二章导数与微分19若上述极限不存在,在点不可导.若称在就说函数的导数为无穷大.第二章导数与微分20在时刻的瞬时速度：位移关于时间的导数。曲线在M

点处的切线斜率：曲线在M处的导数引例问题的解：导数就是一种特殊类型的极限。第二章导数与微分21例1：求函数y=x2+1在x=2处的导数。解：函数的增量：第二章导数与微分22在点的某个右邻域内单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)定义

.

设函数有定义,存在,第二章导数与微分23定理.函数在点且存在简写为可导的充分必要条件是例.证明函数在x=0不可导.

第二章导数与微分24

函数的可导性与连续性的关系定理.证:设在点x0

处可导,存在,所以函数在点x0

连续.注意:

若函数在点x0连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.即第二章导数与微分25在点处右导数存在定理3.

函数在点必右连续.(左)(左)第二章导数与微分26若函数在开区间

I

内每点都可导,此时自变量与导数值之间存在对应关系，则称这种对应关系为导函数.记作:就称函数在

I内可导.

开区间上函数的导函数（或简称导数）第二章导数与微分27函数在闭区间上的导数：函数在相应的开区间上可导，且在端点处有单侧导数。第二章导数与微分28基本初等函数的导数第二章导数与微分29第二节函数的求导法则

第二章第二章导数与微分30一、四则运算求导法则

定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且第二章导数与微分31此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设,则故结论成立.例如,第二章导数与微分32(2)证:

设故结论成立.推论:(C为常数

)第二章导数与微分33(3)证:

设则有故结论成立.推论:(C为常数

)第二章导数与微分34求下列函数的导数：第二章导数与微分35例2.

求证证:类似可证:第二章导数与微分36二、反函数的求导法则

定理.y的某邻域内严格单调可导,

证:在

x

处的增量由反函数的单调性知由于函数与反函数都连续，所以因此第二章导数与微分37例.求反三角函数的导数.解:1)设则类似可求得,则第二章导数与微分38基本初等函数的导数第二章导数与微分39在点x

可导,三、复合函数求导法则定理.在点可导复合函数且在点x

可导,链式法则第二章导数与微分40例：求下列函数的导数。第二章导数与微分41例如,关键:

搞清复合函数结构,由外向内逐层求导，并注意是对中间变量求导。推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.第二章导数与微分42例.设求第二章导数与微分43课后作业习题2-1，P86:4、5、9（奇数题）、18、19P97:2（偶数题）、3、6（偶数题）、7（偶数题）、8（偶数题）、11（偶数题）第二章导数与微分44定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数,或的二阶导数

,记作的导数为依次类推,分别记作则称第三节、高阶导数第二章导数与微分45求的各阶导数。求的各阶导数。求的各阶导数。求的各阶导数。第二章导数与微分46第四节隐函数和参变量函数求导

第二章第二章导数与微分47一、隐函数的导数若由方程可确定y是

x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,函数为隐函数

.则称此（1）隐函数与显函数的概念。第二章导数与微分48（2）隐函数求导方法：方程两边同时求导。

两边对

x

求导(解含导数的方程)第二章导数与微分49例.

求由方程的导数，并求在x=0处的导数值。解:

方程两边对

x

求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数第二章导数与微分50求由方程确定的函数y=y(x)、函数x=x(y)的导数第二章导数与微分51例.求的导数.

解:两边取对数,两边对x

求导两边求导法在显函数上的应用：取对数求导法。第二章导数与微分52法1、用取对数求导法求:幂指函数的导数的求法。法2、直接变形法求导第二章导数与微分53例,两边取对数两边对

x求导可用于取对数求导法的情况：第二章导数与微分54求函数：的导数。第二章导数与微分55隐函数的高阶导数法1、先两边求导解出一阶导，再对一阶求导得二阶、对二阶求导得三阶，类推法2、先两边求导解出一阶导，再对求好一次导以后的方程再求一次导，将一阶代入得二阶导，类推。第二章导数与微分56求由方程确定的函数y=y(x)的二阶导数第二章导数与微分57二、由参数方程确定的函数的导数参数方程：可以确定y

与

x之间的函数关系第二章导数与微分58由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个

y

与

x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时x看成是

y的函数)关系,第二章导数与微分59例7：设函数y=f(x)由参数方程：所确定，求此函数的导数。第二章导数与微分60二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.若参数方程中第二章导数与微分61例.

设由方程确定函数求第二章导数与微分62课后作业P103:1（奇数题）、3P111:1、3[2、4]、4、5第二章导数与微分63第五节微分

第二章第二章导数与微分64一、微分的概念

引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?

变到边长由其主要部分可忽略部分第二章导数与微分65故称为函数在的微分第二章导数与微分66的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即在点可微,微分就是函数增量的线性主要部分例：若x=1，Δx=0.1,0.05时，对于y=x2，dy分别是多少？第二章导数与微分67定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点可导,且在点可微的充要条件是在点处可导，且微分的求法第二章导数与微分68“充分性”已知即在点可导,则第二章导数与微分69求函数y=x在任意一点处的微分从而导数也叫作微商第二章导数与微分70例如,又如,第二章导数与微分71二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)第二章