不等式的均值定理

/7高二数学必修五使用时间：班级：组别：课题：均值不等式一学案…学习目标1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；2．理解均值定理的内容及几何意义，会用均值定理去解实际简单的最值问题。・■/自主学习1不等式的对称性用字母可以表示为.2不等式的传递性用字母可以表示为^3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为.4不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为。5乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先变形。如：贝U，—,3a3b6．倒数法则是对同号的两个数而言的，即只要两个数同号，那么大数的倒数就一定小，用字母可以表示为；若两个数异号，由于正数大于所有负数，所以倒数的大小自然易判断，如一那么倒数大小关系为。…合作探究均值定理如果a,be凡那么竺b>ab。2当且仅当a=b时，等号成立。证明：算术平均数：几何平均数：均值定理可以表述为：【思考与讨论】均值不等式与不等式a2+b2>2ab的关系如何？请对此进行讨论。下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释,以加深同学们对均值不等式的理解。,,•一、………，一，一一a+b，一我们可以令正实数a,b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为和ab的两条线段，然后比较这两条线段的长。具体作图如下：⑴作线段AB=a+b，使AD=a,DB=b;⑵以AB为直径作半圆O;⑶过D点作CD±AB于D,交半圆于点C；一八a+b⑷连接AC,BC,OC,则CO=。ba例1已知ab>0,求证：一+722，并推导出式中等号成立的条件。ab例2（1）一个矩形的面积为100m2。问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m。问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？由例2的求解过程,可以总结出以下规律：例3求函数fQ）=_2x2+x—3（x>0）的最大值，以及此时x的值。x巩固检测1若、为正数且b则的最大值是42已知，则函数=X+一的最小值是2x-3

高二数学必修五使用时间：班级：组别：课题：均值不等式二学案,一学习目标1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；2．进一步理解均值定理的内容及几何意义，灵活运用均值定理去解决实际简单的最值问题。Y"/自主学习.正数、的算术平均数为；几何平均数为..均值不等式是。其中前者是，后者是.如何给出几何解释？.在均值不等式中、既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外并注明所需条件)

a并注明所需条件)

a+b()二一()+1—

x.试根据均值不等式写出下列变形形式，()b+巴ab1()+-_x一5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意或是否为——值，并且还需要注意等号是否成立．.⑴函数一的最大值是；此时的值为__；．⑵函数一的最大值是—；此时的值为；⑶函数一的最大值是—；此时的值为；⑷函数十的最小值是；此时的值为__。_--合作探究例1.已知、、£+8),且1,求证一a11+c19例2.()5已知＜求函数(2)已知,19,且一+—=xy十的最小值。(3)已知、为常数，求函数的最小值。-一巩固检测一．选择题：1.下列命题正确的是（A.B.C.a+b《abD.4——最小值sinx2以下各命题的最小值是；(2)x2+2最小值是2；x2+1若）则（的最小值是4，其中正确的个数是（A．3段B．1则不成立的不等式为（C.)D.A．B．C.b2a2D.1+1>ab-2-a+b＋，A．5.已知B．11,则一+-的最小值等于（abC.D.A．下列不等式错误的是（a2+b2B．a>2C.ab<2ab

a+bD.2ab>at+b-1a+bi:ab2几何平均数ab；圆中的相交弦定理的推论（略）。a+b几何平均数ab；圆中的相交弦定理的推论（略）。—^ab；算术平均数，£；+.⑴三£)⑵三ab£+.⑴三£)⑵三ab£+⑶三异号）);⑷三(5)W—(6)W);.定。⑷一.⑴，；⑵，【典例解析】⑷一1例.解析：原式=（—aba(一十)abca+(一十一)acbc(—+—)cb当且仅当1=时取等号。例2.解析：5<时即（）解法一、原式=（十…、、『19号成立，又一十—=••xy19解法二、由一+-=得（

xy时即，3—十=当且仅当时等号成立，・••当=时，取最大值是19y)(—+—)=-+——时，取得最小值y9x当且仅当x=-y时等为定值，又依题意可知・••当且仅当时，取最小值（）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）解法m+n、解法丁）2（a一b）2

二丁，当且仅当a+b-—时，等号成立。..•当a+b（a一b）2-—时取得最小值一一元二次不等式及其解法(2)x