三角形、三角形相似及全等

三角形、三角形相似及全等一、三角形的边例1：①3、4、x为三角形的三边，求x的取值范围。②3、4、x为直角三角形的三边，求x的取值。③3、4、x为等腰三角形的三边，求x的取值。例2：a、b、c为三角形的三边，它们存在如下关系：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，请问三角形为什么三角形？并说明理由。课堂练习1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）TOC\o"1-5"\h\z若线段，线段，线段，则（）.^^或.V等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（）.^^^或.已知a,b,c为^ABC三边，且满足a2c2—b2c2=a4—b4,则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形.若3,m,5为三角形三边，化简：G—mA—（m—8）2二、三角形的角例1：三角形的三个角的比值为1：2：3,求三角形三个角的度数及三角形的三边比。例？：△ABC中，/A,ZB均为锐角，且有ItanB-x3I+（2sinA—<3）2=0,则4ABC是（）A.直角（不等腰）三角形B.等腰直角三角形C.等腰（不等边）三角形D.等边三角形科翰文化罗芳部，罗湖区罗芳露290号《旅游公司）4株2楼咨询电话科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳髓科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳髓19。号《旅游公司）4栋2搂咨询电话科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳号《旅游公司）科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳号《旅游公司）4栋2楼咨诲电话三、三角形的线（一）角平分线：过三角形的顶点引一条射线，把这个角分成二等分，这条线就叫做三角形的角平分线。角平分线上的点到三角形的两边相等。例1：如图，OE是/AOB的平分线，CD〃OB交OA于C,交OE于DNACD=50o,则ZCDE的度数是课堂练习，.已知：如图，4ABC中，BD平分NABC,且D为AC的中点，DE〃BC交AB^若BC=4，则I」EB长为..已知△ABC中，ZB=ZC,D为BA延长线上的点，AM是NCAD的平分线，求证：AM〃BC.（二）中线、高、垂直平分线（1）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.（2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（3）线段的垂直平分线：垂直并平分这条线段的线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。例2：如图，在△中，N=°,/=°,的垂直平分线交于点，=62,±于点，求的长.EC3题图

BCETOC\o"1-5"\h\z图1图2图3.如图2,在Rt△ABC中，/B=90。，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E.已知/BAE=10。，则/C的度数为（）A．30。B．40。C．50。D．60。.如图3,在RtAABC中，NACB=90°BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为（）A.-B.7C.25D.2266（三）中位线例1：如右图，在4ABC中，D.E两点分别在BC.AC边上.若BD=CD,AZB=ZCDE,DE=2,则I」AB的长度是（）/\A.4B.5C.6D.7//八四、三角形相似H7；C（一）相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似.②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.③三边对应成比例的两个三角形相似.④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.注意：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似.②在运用三角形相似的性质和判定时,要找对对应角、对应边,相等的角所对的边是对应边.例1：如图，在4ABC中，DE〃BC求证AABC^AADE.ADEBC科翰文化罗芳部，罗湖区罗芳窿工科翰文化罗芳部，罗湖区罗芳窿工90号《旅游公司)4栋2搂咨诲电话例2：如图所示，在^ABC中，AB=8cm,AC=10cm,点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒2cm的速度向A点运动，设运动时间为x。当x为何值时，以A、B为顶点的三角形与△APQ相似？(二)相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比.④相似三角形面积的比等于相似比的平方.例1：如图，△t，=则3(1)，=则3(2)若．如图，平行四边形中,△，则．如图，平行四边形中,△，则△课堂练习.如图，在△中,=，则1．如图，△中,：23，则．如图.如图，在△中,=，则1．如图，△中,：23，则．如图，平行四边形中,是三等分点，延长线交长线交科翰文化罗芳部，罗湖区罗芳^科翰文化罗芳部，罗湖区罗芳^190号《旅游公司）4栋2楼咨海电话厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（A14．如图，的斜边上的高线，求证：（1）的平分线交.如图，在平行四边形中，过点作XD垂足为E连结为上一点，且/E=（）求证：△s△AAB（）若，4。，求的长；f（）在（），（）条件下，若，求的长.DCE科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳窿工科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳窿工90号（旅游公司）4株2楼咨海电话科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳窿科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳窿190号《旅游公司）4栋2楼咨诲电话的延长线交于点。求证：.如图，BD、BE分别是NABC与它的邻补角NABP的平分线，AE±BE,AD±BD,E、D为垂足.（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）若AE=3,F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H,且AF=3,求

ADAG证：4AHG是等腰三角形..如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发，沿AB\以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的1S1PsB运动时间为X。（1）当x为何值时，PQ〃BC?（2）当~^BCQ=-，求^BPQ的值；（3）s3sAABCAABC△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。

10.已知/10.已知/人08=90，，OM是NAOB的平分线，按以下要求解答问题:（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA,OB交于点C,D.①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=^PD，求APOD与4PDG的面积之比.2（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D,OD=1,另E为顶点的三角形与4OCD相直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，E为顶点的三角形与4OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长.科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳号(旅游公司)科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳号(旅游公司)4栋2楼咨诲电话五、全等三角形(一)全等三角形的判定方法：()三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”()两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角"或"ASA”()两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.()两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”．(二)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．(三)注意事项：(1)说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．(2)注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．例1：如图，已知AB、CD相交于点O,AC〃BD,OC=OD,E、F为AB上两点，且AE=BF,求证：(1)△AOC^ABODCE=DF.例2：(2010四川宜宾)如图，分别过点CB作^ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E.E求证：BF=CE.1010科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳耀科翰文化罗芳部:罗湖区罗芳耀190号《旅游公司）4株2搂咨诲电话“"一、z用|匚|许京龙中壬例3：（2009南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE±AG于E,BF〃DE,交AG于F.求证：AF=BF+EF.AM平分NDAB.求证：MB=MC例：已知：如图，ZB=ZC=900AM平分NDAB.求证：MB=MC课堂练习如图1,CB=CD,NABC=NADC=90°,NBAC=35°,则/BCD的度数为（）A．145°B．130°C．110°D．70°C.一条边对应相等C.一条边对应相等D.两条边对应相等如图，点D、E、F分别为4ABC三边的中点，且Sf=2,则4ABC的面积为（）△DEFA．4B．6C．8D．12如图，已知AB=CD,AE±BD于E,CF±B