专题14 平面向量及其应用A卷-高考数学重难点专题

第=page1717页，共=sectionpages1717页专题14平面向量及其应用A卷一、单选题1.在中，点在边上，记，，则(

)A. B. C. D.2.已知单位向量，的夹角为，则的最小值为(

)A. B. C. D.3.已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为(

)A. B. C. D.4.如图，在矩形中，，，为上一点，若，则的值为(

)

A. B. C. D.5.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾如图，是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是(

)A. B. C. D.6.窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为(

)A. B. C. D.7.已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为(

)A. B. C. D.8.已知，为单位向量，且，若，则，(

)A. B. C. D.二、多选题9.已知，，则(

)A.若，则

B.若，则

C.的最小值为

D.若向量与向量的夹角为钝角，则10.如图所示在中，点是线段的中点，且，和交于点，则(

)A.

B.

C.

D.若，则．三、填空题11.如图是第届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的．若大正方形的边长为，为线段的中点，则

．12.如图，，，是全等的等腰直角三角形处为直角顶点，且，，，四点共线若点，，分别是边，，上的动点包含端点，则

，的取值范围为

．13.已知圆的半径为，为圆内一点，，，为圆上任意两点，则的取值范围是

．14.已知，为抛物线：上异于原点的两点，为抛物线的焦点，点为平面内一点，且，，则

．15.在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点若，则点的横坐标为

．四、解答题16.如图，已知正方形的边长为，过中心的直线与两边分别交于交于点．

求的值；

若是的中点，求的取值范围；

若是平面上一点，且满足，求的最小值．17.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

求角

已知，，点为的中点，点在线段上且，点为与的交点，求的余弦值．18.在中，周长为，面积为，且．求边的长度；若动点是的内切圆上的一点，且．求的值；求的取值范围．

答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题．【解答】解：，．

2.【答案】

【解析】【分析】本题考查向量数量积的性质以及应用，属于基础题．

根据题意，由数量积的性质可得，结合二次函数的性质可得的最小值．【解答】解：根据题意，单位向量，的夹角为，则，

则，

则，即的最小值为．

故选C．

3.【答案】

【解析】【分析】本题考查投影向量，向量的数量积，平面向量的坐标运算，属于基础题．

设向量，的夹角为，由利用向量数量积求出，再由投影向量公式可得．【解答】解：设向量，的夹角为，，，

所以，

从而在上的投影向量的坐标为．

4.【答案】

【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本定理及其应用、平面向量的坐标运算．

由题意建立直角坐标系，结合平面向量的坐标运算可得关于、的方程组，解之即可．【解答】解：由题意建立如图所示的直角坐标系，

因为，，则，，．设，则，，因为，所以，解得，由，得，所以

解得，所以．

故选C．

5.【答案】

【解析】【分析】本题考查向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．

设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解．【解答】解：如图，

为圆心，连接，则．因为点在线段上且，则圆心到线段的距离为，所以，所以，则，即的取值范围是．故选B．

6.【答案】

【解析】【分析】本题考查平面向量的加法运算，向量数量积的概念及其运算，属于中档题．

取的中点，，当点与点或点重合时，取得最大值，再求解即可．【解答】解：取的中点，则

，

当点与点或点重合时，取得最大值，且最大值为，

故的最大值为．

故选D．

7.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查了向量的坐标运算，两点间距离公式，属于中档题．

不妨设，，则，利用求模公式以及两点之间，线段最短求解出最小值．【解答】解：不妨设，

，则，

，

，，

故

当且仅当或时等号成立，

即的最小值为，

故选B．

8.【答案】

【解析】【分析】本题考查向量的夹角、向量的数量积、单位向量的定义，属于基础题．

本题借助，将代入化简即可．【解答】解：因为是单位向量，所以，

因为，，

所以

，

所以

．

故选C．

9.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查向量的坐标运算，向量平行、垂直和向量的夹角，属于基础题．

直接利用向量的共线，向量的模，向量的数量积，向量的夹角的应用判断各选项的正误．【解答】解：由，得，不正确

由，，，B正确

，当时，取得最小值，C正确

当时，即，得，当与反向时，，

故若向量与向量的夹角为钝角，则或，不正确．

10.【答案】

【解析】【分析】本题考查了利用向量的数量积证明等式，属于中档题。【解答】解：选项，

选项，，故C选项正确．

选项，，故D选项正确．

11.【答案】

【解析】【分析】本题考查向量数量积．

由已知求出，由向量数量积运算得即可．【解答】解：设，由题可得，所以，故．

即，

故，

故答案为．

12.【答案】

【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标表示，以及直线方程的运用，考查化简运算能力，属于中档题．

由

，以所在直线为轴，建立直角坐标系，可得由直线方程可得，，，再由向量的数量积的坐标表示，可得所求大小关系．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，

可得

，，的方程设为，，，

则可设，，，，

，

．

故答案为：；．

13.【答案】

【解析】【分析】本题考查了向量的数量积和二次函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

根据平面向量的数量积和二次函数的性质，即可求出结果．【解答】解：

，

易知，

，的取值范围是．

14.【答案】

【解析】【分析】本题考查向量与抛物线的综合问题，向量的数量积运算以及同角三角函数的基本关系，属于中档题．

根据向量的数量积公式，分别作，垂直于抛物线的准线，设，然后结合同角三角函数的基本关系进行求解即可．【解答】解：因为，所以为的中点，

，所以．

如图，分别作，垂直于抛物线的准线，垂足分别为，，

则，，又，

所以设，则，

，则，即又，所以解得

，，所以．

15.【答案】

【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．

设，，求出的坐标，得到圆的方程，联立直线方程与圆的方程，求得的坐标，结合求得值得答案．【解答】解：设，，

，，

则圆的方程为．

联立，解得．

．

解得：或．

又，．

即的横坐标为．

故答案为：．

16.【答案】解：由正方形可得，所以；因为直线过中心且与两边分别交于交于点．

所以为中点，

所以．

因为是的中点，所以，

所以，即的取值范围为；

令，由知点在上，又因为为中点，

所以，从而，

因为，

所以，即的最小值为

【解析】本题考查向量的数量积，向量的基本运算，向量的模，向量共线的判定与证明，向量的几何运用，属于中档题．

将向量分解为，利用垂直和数量积的运算即可求解；

由为中点可得，再由和的范围计算即可；

令，由向量共线的判断可得点在上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可．

17.【答案】解：，

由正弦定理可得

即

化简得：，又，

即得，可得，

又为三角形内角，

即．

点为的中点

，

，，即的余弦值为．

【解析】本题考查了正弦定理、三角恒等变换、向量的运算、向量的夹角公式等知识，属中档题．

18.【答案】解：在中，，可知，

因此根据题意，可知，

，即，

由余弦定理可得，

消去，，可得，即．

由，，可得，，或者，，

不妨设，，

由于为的内心，设，

即，

化简得，

不妨设，

即

化简得，

根据对应系数成比例，可知，解得：，

从而

由可知，

，