全等三角形辅助线做法讲义

龙文教育 中小学龙文教育 中小学1对1课外辅导专家龙文教育教务处龙文教育教务处全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一一一倍长中线【夯实基础】例：AABC中， 是/BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC方法1：作D，于，作D，于，证明二次全等方法：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法—-倍长中线AA△ABC中AD是BC边中线B方式1：延长AD到E,使DE=AD,连接BE方式2：间接倍长AE【经典例题】作CF±于，作BE±的延长线于连接BE延长到，使,连接CD例1：^ABC中，AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围例2：已知在4ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,<DF=EF,求证：BD=CE例3：已知在4ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF提示：倍长AD至G,连接BG,证明△ 皿三角形BEG是等腰三角形龙文教育 中小学龙文教育 中小学1对1课外辅导专家龙文教育教务处龙文教育教务处龙文教育教务处 龙文教育教务处 C例5：已知CD=AB,NBDA=NBAD,AE是4的中线，求证：NC=NBAE提示：倍长AE至F,连结DF证明△ 2A ()进而证明4 2A ()【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB〃c为边的中点，NBAE=NEAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长、交于证明=所以2、如图，AD为AABC的中线， 平分/BDA交AB于E,DF平分/ADC交AC于F.求证:BE+CF>EF3、已知：如图，AABC中，/C=90。，CM1AB于M,AT平分ZBAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证：CT=BE.提示：过T作TNL于TE证明△皿

TE截长补短法引辅助线思路：当已知或求证中涉及到线段a、有下列情况时：［±8=□，如直接证不出来，可采用截

长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两

种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集例1如图，通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集例1如图，D C中起来。中，N2。D C中起来。中，N2。+CD延长AC至点F,使得AF=AB在4ABD和4AFD中^AB=AF。Zl=Z2AD=AD/.△ABD^^AFDCA）・・・NB=NF・・・NACB=2NB.•・NACB=2NF而NACB=NF+NFDC.•・NF=NFDC.•・CD=CF而AF=AC+CF.•・AF=AC+CD.•・AB=AC+CD证法二（截长法）例2如图，在Rt^ABC中，AB=AC,NBAC=90°CELBD交BD的延长线于E,证明：BD=2CE。在AB上截取AE=AC,连结DE在在AB上截取AE=AC,连结DE在4AED和4ACD中工9=AC<Zl=Z2AD=AD/.△AED^^ACDCAS：.DE=DC,乙4即=/C：.2ZB=/B+/EDB/.乙B=AEDB：.EB=ED=DC：.AB=AE+EB=AC+DC F，N1=N2， \/\CE—pg—_1(jpCE交于F,证ABEF2△BEC,得 2 ，再证AABD2AACF,得BD=CF。i如图，AABC中，AB ACAD平分/BAC，且ADBD求证：CDXAC2如图，AC〃BD,EAE盼别平分/CABNDBA,CD过点E, D求证A吃ACBD 相W D曾、如图，已知在口ABC内，/BAC=600,/C=400,,分别在BBC,CA上，并且A,B分别是/BAC,/ABC的角平分线。求证：BBAABB4如图，在四边形ABCD中，BOBAAFCD,BD平分/ABC,求证：/A+ZC=1800BB已知：如图，AABC中，人口平分/8人0若NCNB证明：ABACCDB己知：如图，&BC中，NA60NB与NC的平分线BEC交于点，求证：BCBFCE己知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分NCBE交CD于求证：BECFAE龙文教育 中小学龙文教育 中小学1对1课外辅导专家龙文教育教务处龙文教育教务处龙文教育 中小学龙文教育 中小学1对1课外辅导专家龙文教育教务处 龙文教育教务处 B与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：、对称性；、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。（）截取构全等如图,NCO如取,并连接、，则有△ ^^F从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例.如图-，平分/B例.如图-，平分/B平分/，点在上，求证： 。简证：在此题中可在长线段上截取,再证明,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自己证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自己试一试。例.已知：如图, 2NN, =求证±分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自己证明。证:例3已知：如图,在4中，NN证:例3已知：如图,在4中，NN平分/A求图C分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。练习已知在△中，平分/ANN,求证：已知：在4 中，NNb 平分/交于，，求证:已知：在4中， 为N的平分线，为上任一点。求证:已知：是4的N 的外角的平分线上的任一点，连接、证求证:（）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。求证：NN分析：可由向N的两边作垂线。近而证N与N之和为平角。例求证：NN分析：可由向N的两边作垂线。近而证N与N之和为平角。的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例.如图-在4中，N, =NN、求证：分析：过作，于，则 ，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段例3已知如图,4 的角平分线、相交于点。求证：N的平分线也经过点。龙文教育龙文教育龙文教育教务处龙文教育教务处斤：连接P证平分/即可，也就是证到中小学1对1课外辅导专家的距离相等/XA如果/XA如果平分/A已知：如图 在正方形 中，为的中点，为练习:1如图NN则()2已知在△中，N求。.已知：如图NN12( )求证：NN上的点，NN。求证:已知：如图-在△中，N Xb垂足为平分/交于，过作交于H求证()、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交)。例.已知：如图 -NNa X于，是.、一 1求证： -( )分析：延长交于点，则可得全等三角形。问题可证。龙文教育 中小学龙文教育 中小学1对1课外辅导专家龙文教育教务处龙文教育教务处.已知：如图的平分线，以求证:分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交近而构造出等腰三角形。例3已知：如图分别N 的内、外角平分线，过顶点作垂直交的延长线于F连结并延长交于。而有求证:分析:是N 内外角平分线，可得!,所以想到利用比例线段证相等。N图己知：如图-在4中，平分/、，一一.、一 1交延长线于。求证：=分析:题设中给出了角平分线，自然想到以,,、，一 一，， ，一一一i作^关于的对称△,然后只需证-关于的对称4,也可尝试作^)a即是N 的平分线，且 ±图于，连接，求2已知分别是△的N的内角与外角的平分线，，于，以于，连接分别交于MN求证(4)、以角分线上一点做角的另一边的平行线龙文教育 中小学龙文教育 中小学1对1课外辅导专家龙文教育教务处龙文教育教务处和图所示。例如图， NN2求证:例如图， ,平分/B且求证：N+ i例如图，〃，、分别平分/练习：已知，如图，NN, 。2已知：如图， ，N=23已知、是4的角平分线，C一—B-C- ，、一 D c各N，求证： 。/\A B求证：△ 是直角三角形。A RAB,求证：±B D… AN ,求证： AA有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图BDC•已知：如图在△中，/分线，求证:的平、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线例6.如图7,AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,BD平分/ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。证明：延长BA,CE交于点尸，在ABEF和ABEC中，VZ1=Z2,BE二BE,ZBEF=ZBEC=90°,・・・ABEF2ABEC,・・・EF二EC,从而CF=2CE。又N1+NF=N3+NF=90°,故N1=N3。在AABD和^AACF中，・・，N1=N3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°,AABD2AACF,・・・BD二CF,・・.BD=2CE。相交注：此例中BE是等腰ABCF的底边CF的中线。相交（六）、借助角平