苏教版高中数学选修（1-1）-3.4《导数及其应用》单元复习教学教案

导数及其应用综合复习【学习目标】1.了解导数的概念2.理解导数的几何意义3.理解导数的运算；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数4.理解导数在研究函数中的应用．能利用导数研究函数的单调性；函数的极大(小)值；函数的最大(小)值5.理解导数在实际问题中的应用【重点与难点】1.导数的概念和切线方程2.利用导数来解决函数的单调性与最值问题【学习过程】一、热身训练1．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－0)，∴y＝3x＋1.答案：y＝3x＋12.已知函数f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，则f(eq\f(π,4))＝________.解析：f′(x)＝f′(eq\f(π,2))cosx－sinx，∴f′(eq\f(π,2))＝f′(eq\f(π,2))coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)，即f′(eq\f(π,2))＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx，f(eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝0.答案：03.若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，则a等于________．解析：令过(1,0)的直线与y＝x3切于点(x0，y0)，切线斜率为k＝3x02.设切线方程为y＝3x02(x－1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x03，,y0＝3x02(x0－1)))⇒x03＝3x03－3x02⇒2x03－3x02＝0⇒x0＝0或x0＝eq\f(3,2).故切线方程为y＝0或y＝eq\f(27,4)(x－1)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,y＝ax2＋\f(15,4)x－9))⇒ax2＋eq\f(15,4)x－9＝0，∵Δ＝0，∴a＝－eq\f(25,64).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(27,4)(x－1)，,y＝ax2＋\f(15,4)x－9))⇒ax2＋eq\f(15,4)x－9＝eq\f(27,4)(x－1)，∵Δ＝0，∴a＝－1.答案：－1或－eq\f(25,64)4．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x>0时，f(x)<0，∴0<x<1；当x<0时，图象关于y轴对称，f(x)>0，∴x<－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)5.若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)≤0(x>－1)恒成立，即b≤x(x＋2)恒成立．又x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1，∴b≤－1.答案：b≤－16．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极大值和极小值分别为________和________．解析：f′(x)＝3x2－2px－q，f′(1)＝3－2p－q＝0.即2p＋q＝3，①又f(x)过点(1,0)，∴1－p－q＝0,②由①②：p＝2，q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，则x1＝eq\f(1,3)，x2＝1，当x＝eq\f(1,3)时，f(x)极大值＝eq\f(4,27)；当x＝1时，f(x)极小值＝0.答案：eq\f(4,27)07.若函数f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，则a的值为________．解析：f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,(x2＋a)2)＝eq\f(a－x2,(x2＋a)2)，当x>eq\r(a)时，f′(x)<0，f(x)单调减，当－eq\r(a)<x<eq\r(a)时，f′(x)>0，f(x)单调增，当x＝eq\r(a)时，f(x)＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，eq\r(a)＝eq\f(\r(3),2)<1，不合题意，∴f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,1＋a)＝eq\f(\r(3),3)，a＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－1二、知识要点1．平均变化率及瞬时变化率(1)f(x)从到的平均变化率是：。(2)f(x)在x＝处的瞬时变化率是。2．导数的概念(1)f(x)在x＝处的导数就是f(x)在x＝处的．记作：或f′()，即f′()＝.(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的，简称导数，即3．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0),切线方程为．4．函数的单调性（1）函数f(x)在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)为．若f′(x)＜0，则f(x)为，若f′(x)＝0，则f(x)为．（2）如果一个函数在某一范围内导数的绝对值，那么函数在这个范围内变化，这时，函数的图象就越“”．（3）利用导数判断函数单调性的一般步骤：(1)求f′(x)；(2)在定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)根据(2)的结果确定f(x)的单调区间．5．函数的极值(1)函数的极值的概念：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的，f(a)叫做函数y＝f(x)的．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的，f(b)叫做函数y＝f(x)的．极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为(2)求函数极值的步骤：①；②；③检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取．6．函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤：(1)．(2).7．生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．三、典例精讲例1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.(1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.(2)若f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行，则f′(x0)＝g′(x0)，又由题知x>0，则f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝eq\f(1,x0)，解得x0＝±eq\f(1,2)，∵x>0，∴x0＝eq\f(1,2).例2.若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在区间(－eq\f(1,2)，0)内单调递增，求a的取值范围解析：设g(x)＝x3－ax，则g′(x)＝3x2－a，①当0<a<1时，f(x)在区间(－eq\f(1,2)，0)内单调递增，则g(x)在(－eq\f(1,2)，0)上单调递减，即当－eq\f(1,2)<x<0时恒有g′(x)<0⇒a>3x2⇒a>eq\f(3,4)，∴a∈(eq\f(3,4)，1)；②当a>1时，f(x)在区间(－eq\f(1,2)，0)上单调递增，则g(x)在(－eq\f(1,2)，0)上单调递增，即当－eq\f(1,2)<x<0时恒有g′(x)>0⇒a<3x2⇒a<0，与a>1矛盾；③当a＝eq\f(3,4)时，符合题意，∴a∈[eq\f(3,4)，1)．答案：[eq\f(3,4)，1)例3.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)．(1)若在f(x)的图象上横坐标为eq\f(2,3)的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；(2)若f(x)在区间(－2,3)内有两个不同的极值点，求a的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．解：(1)依题意，f′(eq\f(2,3))＝0，∵f′(x)＝－3x2＋2ax，∴－3×(eq\f(2,3))2＋2·a·eq\f(2,3)＝0，∴a＝1.(2)若f(x)在区间(－2,3)内有两个不同的极值点，则方程f′(x)＝0在区间(－2,3)内有两个不同的实根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,f′(－2)<0，,f′(3)<0，,－2<\f(a,3)<3，))解得－3<a<eq\f(9,2)且a≠0.当a＝0时，f(x)＝－x3＋1无极值点，∴a的取值范围为(－3,0)∪(0，eq\f(9,2))．(3)在(1)的条件下，a＝1，要使函数f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的图象恰有三个交点，等价于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1，即方程x2(x2－4x＋1－m)＝0恰有三个不同的实根．∵x＝0是一个根，∴应使方程x2－4x＋1－m＝0有两个非零的不等实根，由Δ＝16－4(1－m)>0，且1－m≠0，解得m>－3，且m≠1，∴存在m∈(－3,1)∪(1，＋∞)，使函数f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的图象恰有三个交点.五．课堂巩固：1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)________．①无极大值点、有四个极小值点②有三个极大值点、两个极小值点③有两个极大值点、两个极小值点④有四个极大值点、无极小值点解析:根据图象,用极值的定义直接判断,得出答案.答案:③2.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的