中考几何模型8字模型与飞镖模型

字模型与飞镖模型模型1：角的飞镖模型如图所示，有结论：/D=/A+NB+NC.模型分析解法一：如图①，作射线AD.•・・/3是4ABD的外角，，/3=/B+/1,：/4是4ACD的外角，，/4=/C+N2・・・NBDC=N3+N4,・・・NBDC=NB+N1+N2+NC,，NBDC=NBAC+/B+NC解法二：如图②，连接BC.VZ2+Z4+ZD=180°,・・・ND=180°—(N2+N4)VZ1+Z2+Z3+Z4+ZA=180°,，NA+N1+N3=180°—(N2+N4)AZD=NA+N1+N3.(1)因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分/DAB和ZDCB,AM与CM交于M，探究/AMC与ZB、ZD间的数量关系.解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长.•・・/3是4AMD的外角，，/3=/1+/ADM,•・・/4是4CMD的外角，，/4=/2+/CDM,VZAMC=N3+N4AZAMC=Z1+ZADM+ZCDM+Z2,，ZAMC=Z1+Z2+ZADC.比的飞镖模型）VAM、CM分别平分ZDAB和/DCB,AziJBAD,Z2/BCD,22ZBADZBCD 360。-(ZB+ZADC)••ZAMC= + +ZADC，•ZAMC= +ZADC(四边形内角和360°),AzAMC=360。一乙B+ZADC,A2ZAMC+ZB-ZADC=3602练习：.如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=.【答案】230°提示：ZC+ZE+ZD=ZEOC=115°.(飞镖模型)，ZA+ZB+ZF=ZBOF=115°.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=115°+115°=230°.如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=.【答案】220°提示：如图所示，连接BD.ZAED=ZA+Z3+Z1,ZBFC=Z2+Z4+ZC,ZA+ZABF+ZC+ZCDE=ZA+Z3+Z1+Z2+Z4+ZC=ZAED+ZBFC=220°模型2边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC.结论AC+BD>AD+BC.模型分析•・・OA+OD>AD①，OB+OC>BC②，由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD的对角线人&BD相交于点O。求证：(1)AB+BC+CD+AD>AC+BD；AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.证明：(1)・「AB+BC>AC①，CD+AD>AC②，AB+AD>BD③，BC+CD>BD④由①+②+③+④得：2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+AD>AC+BD.(2)・.・AD<OA+OD①，BC<OB+OC②，由①+②得：AD+BC<OA+OD+OB+OC.・・・AD+BC<AC+BD.(边的8字模型)，同理可证：AB+CD<AC+BD.・・・AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型3边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.

模型分析如图，延长BD交AC于点E。•;AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>BE,，AB+AC>BE+EC.①，：BE+EC=BD+DE+EC,DE+EC>CD,・・.BE+EC>BD+CD.②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点。为三角形内部一点.求证：(1)2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC；AB+BC+AC>AO+BO+CO.证明：(1)・「OA+OB>AB①，OB+OC>BC②，OC+OA>AC③由①+②+③得：2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC(2)如图，延长BO交AC于点E,•;AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>BE,AAB+AOBE+EC.①•;BE+EC=BO+OE+EC,OE+EC>CO,，BE+EC>BO+CO,②由①②可得：AB+AC>BO+CO.③(边的飞镖模型)同理可得：AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤由③+④+⑤得：2(AB+BC+AC)>2(AO+BO+CO).即AB+BC+AC>AO+BO+CO.1.如图，在4ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.【答案】证法一：如图①，将AC平移至BF,AD延长线与BF相交于点G,连接DF。由平移可得AC=BF,・「AC〃BF,AZACE=ZBFD,VBD=CE

•.△AEC2△FDB,・・・DF=AE如图，延长AD交BF于点G,・「AB+BF=AB+BG+GF.VAB+BG>AG,・・AB+BF>AG+GF①，：AG+GF=AD+DG+GF, \*DG+GF>DF,・・AG+GF>AD+DF②，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）•・AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.，AB+AC>AD+AE.证法二：如图②，将AC平移至DF,连接BF，则AC=DF,VAC#DF,AZACE=NFDB.VBD=CE,A△AEC^^FBD..\BF=AE.〈OA+ODAAD①， OB+OF>BF②由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD..\AB+DF>BF+AD.（8字模型）・•・AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD.，AB+AC>AD+AE.2.观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由.⑴如图①，4ABC中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由.⑵如图②，将(1)中的点P移至^ABC内，请比较4BPC的周长与4ABC的周长的大小，并说明理由.(3)图③将(2)中的点P变为两个点P、P,请比较四边形BPPC的周长与ABC1 2 12的周长的大小，并说明理由

【答案】(1)如图①，BP+PC<AB+AC.理由：三角形两边之和大于第三边。(或两点之间线段最短)(2)^BPC的周长小于4ABC的周长。证明：如图②，延长BP交AC于M。在4ABM中，BP+PM<AB+AM①在4PMC中，PC<PM+MC②，由①+②得：BP+PC<AB+AC.•••△BPC的周长小于4ABC的周长。(3)四边形BPPC的周长小于&BC的周长。12证法一：如图③，分别延住P、CP交于M,由(2)知，BM+CM<AB+AC.12又：PP<PM+PM,・•・BP+PP+PC<BM+CM<AB+AC.12 1 2 1 12 2・•・四边形BPPC的周长小于NBC的周长12证法二：如图④，做直线PP分别交AB证法二：如图④，做直线PP分别交AB、AC于M、N。在AB