微积分课件及其答案-第3章

3.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1.隐函数的导数2.对数求导法4.相关变化率3.由参数方程确定的函数的导数若由方程可确定

y

是

x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定

y

是

x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:

两边对

x

求导(注意

y=y(x))(含导数

的方程)1.隐函数的导数

复合函数求导法则,注意例解1将方程两边对x求导,得解2将方程两边求微分,得例

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,解切线方程法线方程通过原点.练一练例解将上面方程两边再对解确定,练一练2.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法

然后利用隐函数的求导法求出导数.在对数求导的过程中，允许不加绝对值注例解等式两边取对数得例解1等式两边取对数得解2解1等式两边取对数得练一练解2例解两边取对数两边对x求导解练一练解3.由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得t例解

所求切线方程为

参数方程所确定的函数,它的导数仍用参数t表示的，所以依然看成参数方程所确定的函数.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻

t

的运动速度的大小和方向.

解水平速度为垂直速度为故速度大小速度方向(即轨迹的切线方向):设

为切线倾角,则例抛射体轨迹的参数方程水平速度垂直速度抛射角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向(即

t=0)设由方程确定函数求方程组两边对t

求导,得解练一练例解将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为又切点为故法线方程为即参数方程如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.例解4.相关变化率之间有联系之间也有联系称为相关变化率例解(1)(2)仰角增加率(3)相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式对t求导相关变化率求出未知的相关变化率之间的关系式

代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)水面例解桥面20mxy(1)在此人的正下方有一条小船以的速度在与桥垂直的方向航行,求经5s后,人与小船相分离的速度.对t求导(2)(3)解练一练设自开始充气以来的时间t,解体积为在t时刻气体的半径为设气体以100立方厘米/秒的速度注入球状的气球,求在半径为10厘米时,气球半径增加的速率(假定气体压力不变).气球半径与体积的关系练一练小结1.隐函数求导法:利用复合函数求导法则,将方程两边对x求导，并注意到其中变量y是x的函数.2.参数方程所确定的函数求导法:3.相关变化率:

利用复合函数求导法则，通过函数关系确定两个相互依赖的变化率之间的关系,作业：P751(6)(8)，2(1)，3(2),45(4)，6(1)(6)，7(2)8(1),9(3)(4),11,12,18拓展思考题求螺线在对应于的点处的切线方程.解

化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为思考题思考题解答不对．思考题(是非题)正确解答试问对吗?非解练一练解等式两边取对数练一练解2（微分思想）——（以直代曲）设自开始充气以来的时间t,解1体积为在t时刻气体的半径为练一练设自开始充气以来的解2体积为t时刻气体的半径为练一练例解可由切线的斜率来反映.即解练一练对幂指函数可用对数求导法求导:按指数函数求导公式按幂函数求导公式一般地注意例解3例解1试求当容器内水有一底半径为

Rcm,高为

hcm的圆锥容器,今以