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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()A. B. C. D.2.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位3.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.4.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为().A. B.9 C.5 D.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了六天恰好到达目的地,请问第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里6.若复数满足,其中为虚数单位,是的共轭复数,则复数()A. B. C.4 D.57.的展开式中有理项有()A.项 B.项 C.项 D.项8.下列图形中,不是三棱柱展开图的是()A. B. C. D.9.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.10.函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为()A. B. C. D.11.设集合,,若集合中有且仅有2个元素,则实数的取值范围为A. B.C. D.12.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数若关于的不等式的解集为,则实数的所有可能值之和为_______.14.设为等比数列的前项和,若,且,,成等差数列,则.15.若实数,满足不等式组,则的最小值为______.16.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,底面是菱形,对角线交于点为棱的中点,.求证:(1)平面;(2)平面平面.18.(12分)在中,内角的对边分别是,满足条件.(1)求角;(2)若边上的高为,求的长.19.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若的面积为,,求和的值.20.(12分)在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,射线的极坐标方程为,射线的极坐标方程为.(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程,并指出是何种曲线;(Ⅱ)若射线与曲线交于两点,射线与曲线交于两点,求面积的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)当时,求曲线在点的切线方程;(2)讨论函数的单调性.22.(10分)在中,,,.求边上的高.①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影为.故选:B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义,属于基础题2.A【解析】依题意有的周期为.而,故应左移.3.B【解析】
解:当直线过点时,最大,故选B4.A【解析】
根据指数型函数所过的定点,确定,再根据条件,利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,,当且仅当时等号成立,即时取得最小值.故选:A【点睛】本题考查指数型函数的性质,以及基本不等式求最值,意在考查转化与变形,基本计算能力,属于基础题型.5.B【解析】
人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,计算,代入得到答案.【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,则,解得,从而可得,故.故选:.【点睛】本题考查了等比数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.6.D【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.【详解】解:复数z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题.7.B【解析】
由二项展开式定理求出通项,求出的指数为整数时的个数,即可求解.【详解】,,当,,,时,为有理项,共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征,熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键,属于基础题.8.C【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知,ABD选项可以围成三棱柱,C选项不是三棱柱展开图.故选:C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断,属于基础题.9.D【解析】
由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.10.D【解析】由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称,且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,故选D.11.B【解析】
由题意知且,结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知,,则,故,又,则,所以,所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算,以及借助数轴解决有关问题,其中确定中的元素是解题的关键,属于基础题.12.C【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个的基本事件总数为,再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,根据即可求出6和28不在同一组的概率.【详解】解:根据题意,将五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则基本事件总数为,则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,∴6和28不在同一组的概率.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法,涉及实际问题中组合数的应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由分段函数可得不满足题意;时,,可得,即有,解方程可得,4,结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和.【详解】解:由函数,可得的增区间为,,时,,,时,,当关于的不等式的解集为,,可得不成立,时,时,不成立;,即为,可得,即有,显然,4成立;由和的图象可得在仅有两个交点.综上可得的所有值的和为1.故答案为:1.【点睛】本题考查分段函数的图象和性质,考查不等式的解法,注意运用分类讨论思想方法,考查化简运算能力,属于中档题.14..【解析】试题分析:∵,,成等差数列,∴,又∵等比数列,∴.考点:等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质,属于容易题,在解题过程中,需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解,考查学生等价转化的思想与方程思想.15.5【解析】
根据题意,画出图像,数形结合,将目标转化为求动直线纵截距的最值,即可求解【详解】画出不等式组,表示的平面区域如图阴影区域所示,令,则.分析知,当,时,取得最小值,且.【点睛】本题考查线性规划问题,属于基础题16.【解析】令直线:,与椭圆方程联立消去得,可设,则,.可知,又,故.三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍,则内切圆半径,其面积最大值为.故本题应填.点睛:圆锥曲线中最值与范围的求法有两种:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法,判别式法,重要不等式及函数的单调性法等.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】
(1)连结根据中位线的性质证明即可.(2)证明,再证明平面即可.【详解】解:证明:连结是菱形对角线的交点,为的中点,是棱的中点,平面平面平面解:在菱形中,且为的中点,,,平面平面,平面平面.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.18.(1).(2)【解析】
(1)利用正弦定理的边角互化可得,再根据,利用两角和的正弦公式即可求解.(2)已知,由知,在中,解出即可.【详解】(1)由正弦定理知由己知,而∴,(2)已知,则由知先求∴∴∴【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式,需熟记定理与公式,属于基础题.19.(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)运用正弦定理和二角和的正弦公式,化简,即可求出角的大小;(Ⅱ)通过面积公式和,可以求出,这样用余弦定理可以求出,用余弦定理求出,根据同角的三角函数关系,可以求出,这样可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【详解】(Ⅰ)由正弦定理可知:,已知,所以,,所以有.(Ⅱ),由余弦定理可知:,,.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系,考查了运算能力.20.(Ⅰ),曲线是以为圆心,为半径的圆;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程,由此能求出曲线的极坐标方程.(Ⅱ)令,,则,利用诱导公式及二倍角公式化简,再由余弦函数的性质求出面积的取值范围;【详解】解:(Ⅰ)由(为参数)化为普通方程为,整理得曲线是以为圆心,为半径的圆.(Ⅱ)令,,,,面积的取值范围为【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法,考查三角形的面积的求法,考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.21.(1);(2)当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.【解析】
(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】(1)当时,,则切线的斜率为.又,则曲线在点的切线方程是,即.(2)的定义域是..①当时,,所以当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减;②当时,,所以当和时,;当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减;③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增;④当时,,所以和时,;时,.所以在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.22.详见解析【解析】
选择①,
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