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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.则下列结论中表述不正确的是()A.从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加;B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多;C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番;D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.2.已知数列中,,(),则等于()A. B. C. D.23.已知等差数列的前n项和为,且,,若(,且),则i的取值集合是()A. B. C. D.4.已知函数在区间上恰有四个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.设为等差数列的前项和,若,,则的最小值为()A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.7.已知向量与的夹角为,,,则()A. B.0 C.0或 D.8.若,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C.13 D.9.已知函数且的图象恒过定点,则函数图象以点为对称中心的充要条件是()A. B.C. D.10.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若线段中点的横坐标为3,且,则抛物线的方程是()A. B. C. D.12.在平行六面体中,M为与的交点,若,,则与相等的向量是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值等于__________,此时a=____________.14.已知数列的前项和为,,且满足,则数列的前10项的和为______.15.如图,、分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点,若,,则双曲线的离心率是______.16.在三棱锥中,已知,且平面平面,则三棱锥外接球的表面积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其导函数为,(1)若,求不等式的解集;(2)证明:对任意的,恒有.18.(12分)已知三点在抛物线上.(Ⅰ)当点的坐标为时,若直线过点,求此时直线与直线的斜率之积;(Ⅱ)当,且时,求面积的最小值.19.(12分)已知函数(1)若函数在处取得极值1,证明:(2)若恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若函数图象的一条对称轴方程为且,求的值.21.(12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.22.(10分)如图,三棱柱的侧棱垂直于底面,且,,,,是棱的中点.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

根据图像所给的数据,对四个选项逐一进行分析排除,由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项,由图像可知,投资额逐年增加是正确的.对于选项,投资总额为亿元,小于年的亿元,故描述正确.年的投资额为亿,翻两翻得到,故描述正确.对于选项,令代入回归直线方程得亿元,故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力,考查利用回归直线方程进行预测的方法,属于基础题.2.A【解析】

分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的周期数列,问题得以解决.【详解】解:∵,(),

…,

∴数列是以3为周期的周期数列,

故选:A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.3.C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差,然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d,由题知,,解得,,所以数列为,故.故选:C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解,属于基础题.4.A【解析】

函数的零点就是方程的解,设,方程可化为,即或,求出的导数,利用导数得出函数的单调性和最值,由此可根据方程解的个数得出的范围.【详解】由题意得有四个大于的不等实根,记,则上述方程转化为,即,所以或.因为,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处取得最小值,最小值为.因为,所以有两个符合条件的实数解,故在区间上恰有四个不相等的零点,需且.故选:A.【点睛】本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想,函数零点转化为方程的解,方程的解再转化为研究函数的性质,本题考查了学生分析问题解决问题的能力.5.C【解析】

根据已知条件求得等差数列的通项公式,判断出最小时的值,由此求得的最小值.【详解】依题意,解得,所以.由解得,所以前项和中,前项的和最小,且.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算,考查等差数列前项和最值的求法,属于基础题.6.C【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.7.B【解析】

由数量积的定义表示出向量与的夹角为,再由,代入表达式中即可求出.【详解】由向量与的夹角为,得,所以,又,,,,所以,解得.故选:B【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方,考查学生的计算能力,属于基础题.8.C【解析】

由已知画出可行域,利用目标函数的几何意义求最大值.【详解】解:表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方,画出不等式组表示的可行域,如图,由解得即点到坐标原点的距离最大,即.故选:.【点睛】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力,属于基础题.9.A【解析】

由题可得出的坐标为,再利用点对称的性质,即可求出和.【详解】根据题意,,所以点的坐标为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用,属于基础题.10.B【解析】

令,则,由图象分析可知在上有两个不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令,则,如图与顶多只有3个不同交点,要使关于的方程有六个不相等的实数根,则有两个不同的根,设由根的分布可知,,解得.故选:B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题,涉及到一元二次方程根的分布,考查学生转化与化归和数形结合的思想,是一道中档题.11.B【解析】

利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点,由抛物线的定义可知,线段AB中点的横坐标为3,又,,可得,所以抛物线方程为.故选:B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.12.D【解析】

根据空间向量的线性运算,用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,,则即,故选:D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算,用基底表示向量,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.3【解析】

根据题意,分析可得,由基本不等式的性质可得最小值,进而分析基本不等式成立的条件可得a的值,即可得答案.【详解】根据题意,正数a、b满足,则,当且仅当时,等号成立,故的最小值为3,此时.故答案为:3;.【点睛】本题考查基本不等式及其应用,考查转化与化归能力,属于基础题.14.1【解析】

由得时,,两式作差,可求得数列的通项公式,进一步求出数列的和.【详解】解:数列的前项和为,,且满足,①当时,,②①-②得:,整理得:(常数),故数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以(首项不符合通项),故,所以:,故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用,数列的前项和的公式,属于基础题.15.【解析】

根据三角形中位线证得,结合判断出垂直平分,由此求得的值,结合求得的值.【详解】∵,∴为中点,,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案为:【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.16.【解析】

取的中点,设等边三角形的中心为,连接.根据等边三角形的性质可求得,,由等腰直角三角形的性质,得,根据面面垂直的性质得平面,,由勾股定理求得,可得为三棱锥外接球的球心,根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【详解】在等边三角形中,取的中点,设等边三角形的中心为,连接.由,得,,由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形,,又由已知可得平面平面,平面,,,所以,为三棱锥外接球的球心,外接球半径,三棱锥外接球的表面积为.故答案为:【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积,关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置,球的半径,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)证明见解析【解析】

(1)求出的导数,根据导函数的性质判断函数的单调性,再利用函数单调性解函数型不等式;(2)构造函数,利用导数判断在区间上单调递减,结合可得结果.【详解】(1)若,则.设,则,所以在上单调递减,在上单调递增.又当时,;当时,;当时,,所以所以在上单调递增,又,所以不等式的解集为.(2)设,再令,,在上单调递减,又,,,,,.即【点睛】本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性,再利用函数的单调性来解决不等式问题,属于较难题.18.(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】

(Ⅰ)设出直线的方程并代入抛物线方程,利用韦达定理以及斜率公式,变形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐标,,再用基本不等式求得的最小值,从而可得三角形的面积的最小值.【详解】解:(Ⅰ)设直线的方程为.联立方程组,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨设的三个顶点中的两个顶点在轴右侧(包括轴),设,,,的斜率为,又,则,①因为,所以②由①②得,,(且)从而当且仅当时取“”号,从而,所以面积的最小值为.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合,属于中档题.19.(1)证明见详解;(2)【解析】

(1)求出函数的导函数,由在处取得极值1,可得且.解出,构造函数,分析其单调性,结合,即可得到的范围,命题得证;

(2)由分离参数,得到恒成立,构造函数,求导函数,再构造函数,进行二次求导.由知,则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点,且.由此判断出时,单调递减,时,单调递增,则,即.由得,再次构造函数,求导分析单调性,从而得,即,最终求得,则.【详解】解:(1)由题知,∵函数在,处取得极值1,,且,,,令,则为增函数,,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,则令,则,,,在上单调递增,且,有唯一零点,且,当时,,,单调递减;当时,,,单调递增.,由整理得,令,则方程等价于而在上恒大于零,在上单调递增,.,∴实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的极值,利用导函数判断函数的单调性,函数的零点存在定理,证明不等式,解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数,是解题的关键,属于综合性很强的难题.20.(1)(2)【解析】

(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用,正弦定理可求,即可求的值.(2)利用三角函数恒等变换的应用,可得,根据题意,得到,解得,得到函数的解析式,进而求得的值,利用三角函数恒等变换的应用可求的值.【详解】(1)由题意,根据正弦定理,可得,又由,所以,可得,即,又因为,则,可得,∵,∴.(2)由(1)可得,所以函数的图象的一条对称轴方程为,∴,得,即,∴,又,∴,∴.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.21.【解析】

利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为.由,得,所以曲线的普通方程为.由,得,所以(舍),所以,所以曲线的交点坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.22.(1)详见解析;(2).【解析】

(1)根据平面,四边形是矩形,由为中点,且,利用平面几何知识,可得,

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