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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是()A.16 B.12 C.8 D.62.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.3.若P是的充分不必要条件,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.5785.已知集合,,若AB,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.在三棱锥中,,且分别是棱,的中点,下面四个结论:①;②平面;③三棱锥的体积的最大值为;④与一定不垂直.其中所有正确命题的序号是()A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④7.等差数列中,,,则数列前6项和为()A.18 B.24 C.36 D.728.复数的虚部为()A.—1 B.—3 C.1 D.29.对于任意,函数满足,且当时,函数.若,则大小关系是()A. B. C. D.10.函数(且)的图象可能为()A. B. C. D.11.设,随机变量的分布列是01则当在内增大时,()A.减小,减小 B.减小,增大C.增大,减小 D.增大,增大12.已知复数是正实数,则实数的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.袋中装有两个红球、三个白球,四个黄球,从中任取四个球,则其中三种颜色的球均有的概率为________.14.已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),则△PMF周长的最小值是_____.15.若,则__________.16.的展开式中,x5的系数是_________.(用数字填写答案)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆,上顶点为,离心率为,直线交轴于点,交椭圆于,两点,直线,分别交轴于点,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求证:为定值.18.(12分)如图,平面四边形中,,是上的一点,是的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)已知函数,且.(1)若,求的最小值,并求此时的值;(2)若,求证:.20.(12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,底面,且,为的中点.(1)证明:;(2)设点是线段上的动点,当直线与直线所成的角最小时,求三棱锥的体积.21.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外,在历史和物理2门科目中必选且只选1门,再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门,后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地,高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人,现从中随机抽取40人进行选科情况调查,用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科,得到如下的统计表:序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)双超中学规定:每个选修班最多编排50人且尽量满额编班,每位老师执教2个选修班(当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的1位老师只教1个班).已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人,用样本估计总体,则化学、生物两科的教师人数是否需要调整?如果需要调整,各需增加或减少多少人?(2)请创建列联表,运用独立性检验的知识进行分析,探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求,仅允许选修了历史科目,且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人,设具备高校专业报名资格的人数为,用样本的频率估计概率,求的分布列与期望.22.(10分)在平面直角坐标系中,椭圆:的右焦点为(,为常数),离心率等于0.8,过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点.⑴求椭圆的标准方程;⑵若时,,求实数;⑶试问的值是否与的大小无关,并证明你的结论.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.2.A【解析】

投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.3.B【解析】

试题分析:通过逆否命题的同真同假,结合充要条件的判断方法判定即可.由p是的充分不必要条件知“若p则”为真,“若则p”为假,根据互为逆否命题的等价性知,“若q则”为真,“若则q”为假,故选B.考点:逻辑命题4.D【解析】

因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.5.D【解析】

先化简,再根据,且AB求解.【详解】因为,又因为,且AB,所以.故选:D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.6.D【解析】

①通过证明平面,证得;②通过证明,证得平面;③求得三棱锥体积的最大值,由此判断③的正确性;④利用反证法证得与一定不垂直.【详解】设的中点为,连接,则,,又,所以平面,所以,故①正确;因为,所以平面,故②正确;当平面与平面垂直时,最大,最大值为,故③错误;若与垂直,又因为,所以平面,所以,又,所以平面,所以,因为,所以显然与不可能垂直,故④正确.故选:D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.7.C【解析】

由等差数列的性质可得,根据等差数列的前项和公式可得结果.【详解】∵等差数列中,,∴,即,∴,故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用,属于基础题.8.B【解析】

对复数进行化简计算,得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算,虚部的概念,属于简单题.9.A【解析】

由已知可得的单调性,再由可得对称性,可求出在单调性,即可求出结论.【详解】对于任意,函数满足,因为函数关于点对称,当时,是单调增函数,所以在定义域上是单调增函数.因为,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小,解题的关键要掌握函数对称性的代数形式,属于中档题..10.D【解析】因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.11.C【解析】

,,判断其在内的单调性即可.【详解】解:根据题意在内递增,,是以为对称轴,开口向下的抛物线,所以在上单调递减,故选:C.【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差,属于中档题.12.C【解析】

将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以且,解得.故选:C【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72,由此能求出其中三种颜色的球都有的概率.【详解】解:袋中有2个红球,3个白球和4个黄球,从中任取4个球,基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有,可能是2个红球,1个白球和1个黄球或1个红球,2个白球和1个黄球或1个红球,1个白球和2个黄球,所以包含的基本事件个数m72,∴其中三种颜色的球都有的概率是p.故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.5【解析】

△PMF的周长最小,即求最小,过做抛物线准线的垂线,垂足为,转化为求最小,数形结合即可求解.【详解】如图,F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=﹣2.过作准线的垂线,垂足为,则有,当且仅当三点共线时,等号成立,所以△PMF的周长最小值为55.故答案为:5.【点睛】本题考查抛物线定义的应用,考查数形结合与数学转化思想方法,属于中档题.15.【解析】

由已知利用两角差的正弦函数公式可得,两边平方,由同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式即可计算得解.【详解】,得,在等式两边平方得,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.16.-189【解析】由二项式定理得,令r=5得x5的系数是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ);(Ⅱ),证明见解析.【解析】

(Ⅰ)根据题意列出关于,,的方程组,解出,,的值,即可得到椭圆的方程;(Ⅱ)设点,,点,,易求直线的方程为:,令得,,同理可得,所以,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理代入上式,化简即可得到.【详解】(Ⅰ)解:由题意可知:,解得,椭圆的方程为:;(Ⅱ)证:设点,,点,,联立方程,消去得:,,①,点,,,直线的方程为:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,为定值.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解;关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式,利用韦达定理化简三角形面积得到定值;考查计算能力与推理能力,属于中档题.18.(1)见解析;(2)【解析】

(1)要证平面平面,只需证平面,而,所以只需证,而由已知的数据可证得为等边三角形,又由于是的中点,所以,从而可证得结论;(2)由于在中,,而平面平面,所以点在平面的投影恰好为的中点,所以如图建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.【详解】(1)由,所以平面四边形为直角梯形,设,因为.所以在中,,则,又,所以,由,所以为等边三角形,又是的中点,所以,又平面,则有平面,而平面,故平面平面.(2)解法一:在中,,取中点,所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,以为坐标原点,方向为轴方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,设平面的法向量,由得取,则设直线与平面所成角大小为,则,故直线与平面所成角的正弦值为.解法二:在中,,取中点,所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,过作于,连,则由平面平面,所以,又,则平面,又平面所以,在中,,所以,设到平面的距离为,由,即,即,可得,设直线与平面所成角大小为,则.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角,考查学生的转化思想和计算能力,属于中档题.19.(1)最小值为,此时;(2)见解析【解析】

(1)由已知得,法一:,,根据二次函数的最值可求得;法二:运用基本不等式构造,可得最值;法三:运用柯西不等式得:,可得最值;(2)由绝对值不等式得,,又,可得证.【详解】(1),法一:,,的最小值为,此时;法二:,,即的最小值为,此时;法三:由柯西不等式得:,,即的最小值为,此时;(2),,又,.【点睛】本题考查运用基本不等式,柯西不等式,绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值,属于中档题.20.(1)见解析;(2).【解析】

(1)要证明,只需证明平面即可;(2)以C为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法求,并求其最大值从而确定出使问题得到解决.【详解】(1)连结AC、AE,由已知,四边形ABCE为正方形,则①,因为底面,则②,由①②知平面,所以.(2)以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设,,则,所以,设,则,所以当,即时,取最大值,从而取最小值,即直线与直线所成的角最小,此时,则,因为,,则平面,从而M到平面的距离,所以.【点睛】本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积,考查的内容较多,计算量较大,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.21.(1)不需调整(2)列联表见解析;有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关(3)详见解析【解析】

(1)可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2,推理得对应开设选修班的数目分别为15,1.推理知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据列联表计算观测值,根据临界值表可得结论.(3)经统计,样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12,频率为.用频率估计概率,则,根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望.【详解】(1)经统计可知,样本40人中,选修化学、生物的人数分别为24,11,则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2.根据每个选修班最多编排50人,且尽量满额编班,得对应开设选修班的数目分别为15,1.现

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