高等数学同济七版-第九章

lim x, A x, x,yx0,y0y重极limfx,yA是要求点x,y以任意方式趋于点x0y0时xyfx,y都趋于同一个常数A；否则该极限就是不存在.要掌握说明重极限limfxy不存在的经典方法：xy取不同路径趋于点x0,y0时,limfx,y会有不同的xy或沿着某一路径趋于点x0,y0时,limfx,y不存在xy唯一性；局部有界性；局部保号性极限值与无穷小的关系；无穷小与有界变量乘积仍为无穷四则运算法则；等价代换；转化为一无穷小与有界变量乘积仍为无穷小 准则xyx1limx2y2sin limsinxy;3lim2xyx

x2

x0x2

x0

2y4 limfx,yfx0,y0xy注:1.二元函数fxy如果在x0y0处不连续是不讨论x0y0是什么类型间断点的若fxy在有界闭区域D上连续则fxy在D若fxy在有界闭区域D上连续则mfxyM若fxy在有界闭区域D上连续mM则fxy都可以取到

x,y

,x,y0,

x,yfx0x, , , 0 0fxx0,y0 0 0

fx,y0

xx

x

x fx,

lim

x0,

yfx0,y0limfx0,yfx0,y0

fx,

y

y

y

x,y

,x,y0,

x,yxy例5设fx,yxy ,则fxx,1 xyz

2

z

2xx

x,y,yx

fxyx,yz

2z

z

2z

f

x,y,

f

x,y 若fxyxy和fyxxy在某区域内连续则fxyxy=fyxxy

x2

:2

2

满足方程

若全增量zfx0xy0yfx0y0可以表示为AxByo,zAxByo

,则称zfxy在点xyAxBy称为z

xy在点x0y0处的微分记为

x0,y0

Ax定理2:可微的必要条件）若函数zfxy在点xy处可微,则fxy在点xy处的两个偏导数zz都存在,且dzzdxzdy.x 3

若函数zfxy的两个偏导数zz都在点xy处连续,则fx,y在点x,y 用定义判定可微（重要若fxx0y0与fyx0y0都存在,则考查重极fx0x,y0yfx0,y0fxx0,y0xfyx,yx2y也就是重极fx,yfx0,y0fxx0,y0xx0fyx,yyy0

是否为？y

是否为xx220 y0

x,y

,x,y0,

x,y例8函数zexy在点2,1处的全微分 x2

,x,y

x,y

y2

3x,y3

证明:fxy在00点处连续且偏导数存在但不可微分链式求导法设uux,y,vvx,y在点x,y处有对x,y的偏导数,z fu,v在对应点可微,zfufvfufv zfufvfufv 例1设zeusinv而uxyvxyz和z 例2设ufxyzex2y2z2而zx2siny求z和z 例3设ufuvtuvsint而uetvcostdu 2例4设wfxyzxyz,fx及xz例5设zf 具有二阶连续导数,

,2z

2z 2z ,f例6设z

uxyuxey,f

2z

2,

且

fx,fxxd3x

.

隐函数存在定理设Fxy有连续一阶偏导数,且Fy0,则Fxy0确定yydy 隐函数存在定理设Fxyz有连续一阶偏导数且Fz0,则Fxyz0确定zzxy，且zFx， F

F Fx,y,u, 设uux,y,vvx,y有方程组 0FFuFv u v

x,xG

v 例1设sinyexxy20,dy 例2设2sinx2y3zx2y3z证明zz 例3设xxyzyyxz,zzxy都是由方程Fxyz所确定的具有连续偏导数的函数,证明xyz 例4设uv具有连续偏导数,证明由方程cxazcybz所确定的函数zfxy满足azbz yuxv 例5设xu yuxv 在P0x0y0的某邻域内,对该邻域内任何异于点P0x0y0的点x,yfxyfx0y0或fxyfx0y0则称点P0x0y0是fxy例已知函数fx,y在点00的某个邻域内连续,且

fx,y2

1, A点00不是fxyB点00是fxyC点00是fxy

x2D根据所给条件无法判断00是否为fx,y设函数zfxy在x0y0处存在偏导数fxx0y0和fyx0y0且在x0y0处取极值,则fxx0y00,fyx0y0设函数zfx,y在x0y0且fxx0y00,fyx0y00,记fxxx0y0A，fxyx0y0B，fyyx0y0C, 若B2AC0,则xy是fxy的极值点 A0时,x0y0为fxy的极小值点；A0时,x0y0为fx,y的极大值点.若B2AC0,则x0y0不是fxy若B2AC0,则x0y0可能是也可能不是fxy例2求函数fxy=x3y33x23y29x例2求函数fxy=x3y33x23y29x例2004年数一设zzxy由方程x26xy10y22yzz2180确定求zzxy的极值求zfxy在条件xy0下的最值（1）构 日函数Fx,y, （2）列方程组Ffx,yx,y

解上述方程组，4根据实际问题所得即所求.上述方法可推广:求三元函数z

x,y,z在约

y,

0yz

下的最值

y,

例1求函数uxyz1111xyza0下的最值 zx2例2008年数二）求函数ux2y2z2在约束条件 下的最值xyz求连续函数zfx,y在有界闭区域D求fx,y在求fx,y在D例1设有一圆板占有平面闭区域Dx2y21,该圆板被加热,以至在点xy温度是Tx22y2x.xxt空间曲线以参数形式给出yyt,tzzt其对应的切向量xtytzt空间曲线以一般式给出

Fxyz0其对应的切向量=nnGx,y,z x例1求曲线yt

在点1,1,1处的切线及法平面方程 zt x2y2z2 在点1,2,1处的切线及法平面方程 xyz曲面以显示给出zzxy其对应的法向量nzxzy例3求曲面x2y2z214在点12,3处的切平面及法线方程例4求曲面zx2y21在点2,14处的切平面及法线方程例5设函数fxy在点00的某邻域内有定义,且fx0,03,fy001,Adz0,03dxB曲面zfxy在点0,0,f00的一个法向量为3yC曲线zfxy在点0,0,f00yyD曲线zfxy在点0,0,f00y

P t

ux0tcos,y0tcos,z0tcosux0,y0,z0t若uuxyz在点P0x0y0z0可微则uuxyz在点P0x0