六年级秋季第1讲.数形结合

+ +预习知识本讲内容前铺知识 四年级春季第2讲（第8级下 五年级春季第1讲（第10级下后续知识算两 六年级秋季第7讲（第11级下 六年级春季第5讲（第12级下课1、计算：a(cd) ac2、计算：1+2+3+4++99+100+99+98+3、看图说明勾股定理的证明过程c2ba)22ab，即c2a21六年1（C版1计算中的数形结合计算中的数形结合例如1642就是一个正方形数，如下图所示.42()()()()52()()()()()进而推知n2 42()()()()()()()同理可52()()()()()()()()进而推知n2 2六年1（C版2根据左表，第一行的数和为1234 根据右表，左上角的1第二行的数和为：1234 第三行的和为：1234 ；第四行的数和为：1234

242(121)2 36963(12321)3 4812161284 综上可知，所有数的和为 2 综上可知，所有数的和为：13 3 3 综上两题，可以推断132333n3 421357；5213579；n2135(2n421234321；52123454321n2123(n1)n(n1)32左图所有数之和为(1234)(1234(1234)2右图所有数之和为13233343132333n3(123将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，......，那么，在第200个拐角处的数 7 7 2 2 第3个拐角f(3)5221；4个拐角f(4)7231；5个拐角f(5)10321；6f(6)13343六年1（C版3则，第2n1个拐角f(2n1)n21；第2n个拐角f(2n)n(n1；则第200个拐角f(200)1001011如下图所示，有三张相同的三角形表格，每张表上均有1个1,2个2,3个 显然，每张表上的数总和为122232n2.每张表上有多少个数 三张表相同位置处的三个数之和总是 三张表上的数总和为 综上可得：122232n2 1 1 n-1n-1……n-1n-1 …… nnn-3nn- nn- nn-13 n-1（1）每张表上有123n1n(n12三张表相同位置处的三个数之和为(2n1)1n(n1)(2n1)2（4）122232n2n(n1)(2n1)6计算：19929739549397959533……3 1… 可见，原式(13599)(13597)(13)5024922216则三张表总和为(12350)1011 24六年1（C版4则原式=11 法3：原式1(10112)2(10122)3(10132)50(101(12350)101(122232502 16用图用图形表示数拆括号的法则：观察下图，完成右面的式子：(ab)(cd) ba请你再想：(abc)(xyz) 【分析】(ab)(cdacadbcbd，(abc)(xyzaxayazbxbybzcxcy平方差公式的探索： 那么a2b2 b；可见a2b2(ab)(ab).完全平方和公式的探索：ab，则其面积为(a5六年1（C版5图中①、②、③、④的面积分别 □□□□□□□□ba那么(ab)2 a2b2abab；可见(ab)2a22abb2总之，a2可联想到的是正方形面积，ab可联想到的是长方形面积如图，有一块边长为a的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为b，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式?ab的正方形，则面积为(ab)2a2ababb2a22abb2（注意容斥原理的应用）则(ab)2a22abb2，验证了完全平方差公式.（仅教师版你能否快速算出20142： 56000196 法2（平方差公式：2014220002028142 利用平方差公式速算：（1）10298 111（ 115（3）86421362 【答（1）102981002229996（2）11141212

115

（3）86421362(864136)(864136)7280006六年1（C版6nn 观察下面的图形，用你自己的话解释这个公式：123(n1)C2 应前四行的一个点；可见前四行点的数量为C2，即1234C2；n同理有123(n1)Cnaaaa的点到原点（下图中的0）的距离；距离不能小于0． - 如：3333；同样3（1）若a1、b2，且ba0，则ab （2）若3ab5bc9ac80，则abc （3）x1x5的最小值是多少?x取什么样的数时，这个式子能达到最小值（1）3（2）12（3）成立的条件是绝对值内的数（或式子）等于0.由于3ab5bc9ac8都大于等于0，3ab50c9

4abc12

和.显然当1x5时，这个距离和最小，为514.其他其他数形结合题目男、女两名田径运动员在长120米的斜坡上练习跑步（如图所示，坡顶为A，坡底B）.两人同时从AA、B之间不停地往返奔跑.35米，女23米.A点多少米?第二次迎面相遇的地点离A点多少米?7六年1（C版7AB【答案】96，7【分析】 :v男下:v女上:v女下=3:5:2:3 :t男下:t女上:t女下AAB6

16

根据右边的沙漏可知，第二次相遇距离A点120 3米12 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个甲乙丙xxxyyyx4y3xyxyx4y5x解得y

化简得4y3x 4y个．三车苹果的总数是：191215151120673(个)．法2：矩形图，用面积表示三车的苹果数．8六年1（C版84(y3)3x4y5(x4)x解得y156厘米,2厘米,866厘米，则□□ 2y 6(y2)2x6y6(xx解得y9六年1（C版9一些重要的公式：2、132333n3(1233、122232n21n(n1)(2n164a2b2ab)(ab5、(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2观察右面的图形（每个正方形的边长均 1）和相应等式，探究其中的规律 □ □ □ □写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：猜想并写出与第n个图形相对应的等式. n

n 112122132502 【分析】原式(1222502122210211 42925六年1（C版132333 123【答案】(123【分析】原式 123100123已知两个完全平方数的差 51，请求出这两个平方数

ab

ab

a

a【分析】a2b2(ab)(ab)51，

，解

ab ab b b 解方

x11x102x11甲乙二人分别从相距450A、B两地同时出发，相向而行.甲的速度是每秒3米，乙的速度是每5米.两个人每当到达目的地时都立即掉头行走，就这样两人A、B之间往返行走5分钟.请问：在这5分钟之内，两人有过多次碰面，第几次碰面的地点距离A地最近?这个最近距离是多少米?（从背后追上也算碰面）4150stBA44A450

450225米210 215分钟到达.A处到B处之间的距离是多少米？x1y15

x3y30x 解得y六年1（C版④④④yx 3(y30x解得y

④④④④④甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B之间作往返运动.已知甲的速度为3米每秒，乙的速度为4米每秒.两人第1000次迎面相遇地点与第1001次迎面相遇地点之间的距离是100米，那么A