北师大选修导数的概念张

会计学1北师大选修导数的概念张2学习目标：1、通过回顾，进一步体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求函数f(x)在某一点x0处的导数。3、能解释具体函数在一点的导数的实际意义。学习重点：导数的概念及导数的实际意义。学习难点：结合具体问题，理解导数概念的内涵第1页/共32页问题2：试求质点在第3秒时的瞬时速度．一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)．问题1：试求质点在前3秒内的平均速度．提示：8米/秒．提出问题：第2页/共32页

问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求函数值y关于x的平均变化率．问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？这个常数是什么？提示：是．第3页/共32页固定的值新知学习：第4页/共32页第5页/共32页注意：（1）函数应在点x0

的附近有定义，否则导数不存在第6页/共32页第7页/共32页导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。第8页/共32页10例：一条水管中流过的水量y（单位：）是时。求函数在x=2处的导数，并解释它的实际意义。间x（单位：s）的函数解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2+Δx），函数值y关于x的平均变化率为（当x趋于2，即Δx趋于0时，平均变化率趋于3，第9页/共32页11所以（/s）.导数

表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3第10页/共32页12说一说1：一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数。假设函数在x=1和x=3处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。第11页/共32页13解：

表示该工人工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。

表示该工人上班后工作3h的时候，其生产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。第12页/共32页14说一说2:服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数在t=10和t=100处的和导数分别为，试解释它们的实际意义。第13页/共32页15解：

表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（mL·min）。

表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降0.6μg/（mL·min）。第14页/共32页16练一练:、第15页/共32页想一想：已知函数f(x)＝ax2＋2x在x＝1处的导数为6，求a的值．第16页/共32页18小结：1、导数的概念及内涵；2、利用导数的定义求函数在一点处的导数的方法步骤：

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般。作业：1.教材习题2-2A组第2，3题(必做题)2.见学案（选做题）第17页/共32页课后思考从函数的图象上看，平均变化率：表示曲线y=f(x)的一条割线的斜率。

那么导数即瞬时变化率表示什么呢？请课后思考.y=f(x)f(x0+)-f(x0)x0x0+xyf(x0+)f(x0)o第18页/共32页20谢谢！第19页/共32页1．求函数y＝2x2

+1在x＝1处的导数。课堂练习:第20页/共32页函数y＝x2在x＝1处的导数为(

)A．2x

B．2＋ΔxC．2 D．1答案：C练一练:第21页/共32页课后练习:1.某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值为1;(2)t=2时刻的瞬时速度.第22页/共32页第23页/共32页导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

25又如何求瞬时速度呢?第24页/共32页26

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度第25页/共32页27△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=

0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?第26页/共32页28

当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.

从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2

时的瞬时速度是–13.1.表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度第27页/共32页29探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=

x0处的瞬时变化率怎样表示?第28页/共32页30定义:函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=

x0处的导数,记作或,即第29页/共32页31定义:函数y=f(x)在x