第10章齿轮机构及其设计-1讲课(定稿)

第10章齿轮机构及其设计机械钟表原理汽车变速器1.齿轮传动概述(1)齿轮传动的作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋转运动与动力，将转动转换为转动，或将转动转换为移动。§10-1齿轮机构的特点及类型传动比：

i12=ω1/ω2ω1ω2(2)齿轮传动特点1)传动比准确、传动平稳；

2)圆周速度大，超过200m/s3)传动功率范围大，从几瓦到上万千瓦；

4)效率高(η0.99)、寿命长、工作可靠；

5)可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动；§10-1齿轮机构的特点及类型

6)要求较高的制造和安装精度，加工成本高、不适宜远距离传动。(1)用于平行轴间的齿轮传动内啮合齿轮人字齿轮外啮合齿轮斜齿轮齿轮齿条§10-1齿轮机构的特点及类型2.齿轮传动类型

曲线齿锥齿轮圆锥齿轮(2)用于相交轴间的齿轮传动§10-1齿轮机构的特点及类型蜗轮蜗杆交错轴斜齿轮(3)用于交错轴间齿轮传动§10-1齿轮机构的特点及类型准双曲面齿轮o1ω1共轭齿廓：一对能实现预定传动比的啮合齿廓。§10－2齿轮的齿廓曲线1.齿廓啮合基本定律运动特性得：

i12＝ω1/ω2＝O2P/O1P齿廓啮合基本定律:相互啮合传动的一对齿轮，在任一位置时的传动比，都与连心线O1O2被其啮合齿廓在接触点处的公法线所分成的两线段长成反比。根据三心定律可知：P点为相对瞬心。由：

v12＝O1P

ω1＝O2P

ω2nnPo2ω2kv12齿廓1齿廓212

作者：潘存云教授节圆1如果要求传动比为常数，则应使O2P/O1P为常数。

节圆:以O1、O2为圆心，O1P、O2P为半径所画的圆。由于O2

、O1为定点，故要求P为定点。称P点为节点。两节圆相切于P点，且两轮节点处速度相同，故两节圆作纯滚动。r'1r'2a=r'1+r'2中心距：o1ω1NNPo2ω2ka两齿轮作定传动比的条件：稳定传动节点:齿廓公法线与两轮连心线的交点。节圆2122.共轭齿廓能按预定传动比规律相互啮合传动的一对齿廓称为共轭齿廓。共轭齿廓的做法：已知k1线求作k2线。（1）等分K1线（2）求交点（3）等分K2线（4）作半径（5）端点连线r'1r'2o1PK1节圆1节圆2o2a2b2c2c1b1a1A1B1C1K2B2A2C2----应用最广渐开线3.共轭齿廓的选择渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、测量和互换使用等优点。摆线圆弧抛物线齿廓曲线

两齿廓的节点按其传动比的变化规律在其连心线上移动。

也有变传动比的齿轮传动，如椭圆齿轮传动。2ω21ω1o1o2

§10-3渐开线齿廓及其啮合特点1．渐开线的形成及其特性（1）渐开线的形成

把一根绳子绕在一圆（基圆）外表面上，随后绷紧一端并展开,则绳端轨迹为渐开线。BK:发生线，rb

:基圆半径。θk

:渐开线AK段的展开角，rk

:渐开线在K点的展开半径。作者：潘存云教授tt发生线BK基圆OArkθk

rb

110.7051221.4101332.1152442.82023021060240902701203001503301800用MATLAB生成的渐开线

（2）渐开线的特性2)渐开线上任意点的法线恒切于基圆；3)渐开线愈靠近基圆部分，曲率半径愈小；B点为曲率中心,BK为曲率半径。渐开线起始点A处曲率半径为0。1)发生线上BK线段的长度等于基圆上被滚过的弧长AB；BK

=AB；§10-3渐开线齿廓及其啮合特点作者：潘存云教授ttBKOArkθkrbnnρkA1B1o1θkK

4）渐开线的形状取决于基圆大小；当rb∞，变成直线。5）基圆内无渐开线。（2）渐开线的特性渐开线的特性是研究渐开线齿轮传动的基础。§10-3渐开线齿廓及其啮合特点B3o3θkA2B2o2

渐开线的特性2）渐开线上任意点的法线恒切于基圆；3）渐开线愈靠近基圆部分，曲率半径愈小；B点为曲率中心,BK为曲率半径。1)发生线上BK线段的长度等于基圆上被滚过的弧长AB；BK

=AB；4）渐开线的形状取决于基圆大小；当rb∞，变成直线。5）基圆内无渐开线。作者：潘存云教授作者：潘存云教授ttBKOArkθkrbnnρk

2.渐开线方程及渐开线函数

研究渐开线齿轮传动时，要用到渐开线的数学方程与渐开线函数。（1）渐开线压力角αk=∠BOK定义：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点的压力角αk。§10-3渐开线齿廓及其啮合特点作者：潘存云教授rkθkαkrbOABKαkvknn

2.渐开线方程及渐开线函数结论:渐开线上的压力角是变化的；随BK(发生线)的增大而增大；离中心O越远，渐开线上的压力角越大。∴αk=arccos

(rb/rk)∵rb＝rk

cosαk

（1）渐开线压力角αk=∠BOK§10-3渐开线齿廓及其啮合特点作者：潘存云教授rkθkαkrbOABKαkvknn

(2)渐开线函数invα

k

称为渐开线函数（即展角θk

）αk

的函数。,是压力角tgαk

＝θk+αkrbtgαk

＝rb(θk+αk)θk＝

tgαk

-αk

＝invαk作者：潘存云教授rkθkαkrbOABKαkvknnBK=AB∵（3）渐开线方程

θk

=invα

k

=tgαk－αkrk=rb

/

cos

αk（θk,

rk）上两式为渐开线极坐标的参数方程。作者：潘存云教授rkθkαkrbOABKαkvknn两齿廓在任意点K啮合时,过K作两齿廓的法线N1N2，且是基圆的切线，N1、N2为切点，N1N2为定直线。i12=ω1/ω2=O2P/O1P=const工程意义：i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命，提高机器的工作精度。两轮中心连线也为定直线,故交点P为定点。(1)渐开线齿廓满足定传动比要求§10-3渐开线齿廓及其啮合特点3.渐开线齿廓的啮合特点ω2o2rb2o1ω1N2N1C1C2KPK'rb1基圆1基圆2rb1ω2o2rb2

o1ω1N2N1PC1C2Krb2rb1

一对渐开线齿轮传动，即使两齿轮的实际中心距与设计中心距有偏差，也不会影响其传动比，这一特性称为渐开线齿轮传动的传动的可分性。这对于齿轮的使用是十分有利的。由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。(2)渐开线齿廓传动具有可分性△

O1N1P

∽△O2N2P故传动比又可写成：

i12=ω1/ω2=O2P/O1P=rb2/rb1

N1N2是啮合点的轨迹,称为啮合线；由渐开线的性质可知：啮合线是接触点的法线（方向不变），正压力总是沿法线方向，故正压力方向不变。该特性对传动的平稳性有利。啮合角:啮合线与节圆公切线之间的夹角α'

，称为啮合角。（3）渐开线齿廓之间的正压力方向不变作者：潘存云教授ω2o2rb2o1ω1C1C2α'rb1N2N1PKK'

1.齿轮各部分的名称和符号齿顶圆:

ra

、da齿根圆:rf

、df齿厚:si齿槽宽:ei齿距:pi=si

+ei齿顶高ha齿根高

hf齿全高h=ha+hf齿宽:B分度圆:人为规定的计算基准圆,表示符号：d、r、s、e，p法向齿距：pn§10-4渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸（pb基圆齿距）

rbOpnhahfhBprasesieipbrfrpi

2.渐开线齿轮的基本参数(2)模数:m(1)齿数:z分度圆周长：πd=zp,d=zp/π称为模数m。m=2z=16于是有：

d=mz，人为规定:m=p/π

只能取某些简单值,m=1z=16

p:分度圆齿距,p=πmm=4z=16分度圆模数的单位:mm,它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。

0.350.70.91.752.252.75(3.25)3.5(3.75)第二系列

4.55.5(6.5)79(11)14182228(30)3645标准模数系列表（GB1357－87）

0.10.120.150.20.250.50.40.50.60.8第一系列

11.251.522.5345681012162025324050为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87规定了标准模数系列。标准模数取第一系列。α1

(3)齿轮的压力角得:αK＝arccos(rb/rK)由

rb＝rK

cosαK对于同一条渐开线：rK↓,→αK↓,αb＝0。定义：分度圆压力角为齿轮的压力角,用表示。αO速度方向正压力方向AαKαKrKBKKB1K1r1rbωOrfra

αrbαr分度圆α1<

αK

由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个确定的圆。规定标准值：α＝20°由db＝dcosα可知，基圆也是一个确定的圆。称

m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。或rb＝rcosα，α＝arccos(rb/r)db＝dcosα某些场合采用α＝15°、22.5°、25°如航空齿轮采用大压力角。

3.渐开线标准齿轮各部分的几何尺寸齿顶高:ha=ha*m齿根高:hf=(ha*+c*)m全齿高:h=ha+hf齿顶圆直径:da=d+2ha齿顶高系数:ha*齿根圆直径:df=d-2hf顶隙系数:

c*分度圆直径:

d=mz=(2ha*+c*)m=(z+2ha*)m=(z-2ha*-2c*)m正常齿:ha*＝1正常齿:

c*＝0.25rrfrahahfho基圆直径：基圆(法向)齿距：标准齿轮：=mzcosαpb=pn=πdb/z=πm

cosα=pcosαm、α、ha*

、c*

取标准值，且是e=s的齿轮。db=dcosαpOpnpbrrbNαrb=rcosαes

4.齿条和内齿轮的尺寸特点：1)压力角处处相等，且等于齿形角，

2)齿距p处处相等:p=πm，其它尺寸与外齿轮相同,

如：

s=πm/2e=πm/2

z→∞的齿轮特例。齿廓曲线（渐开线）→直线。ha=ha*m

hf

=(ha*+c*)m基圆(法向)齿距:α为常数。(1)齿条αα分度线作者：潘存云教授Besppnhahfαpb=pn=pcosαrrbrf1)内齿轮的轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。2)df>d>da(2)内齿轮3)为保证齿廓全部为渐开线，,da＝d-2ha,df＝d+2hf结构特点：内轮齿分布在空心圆柱体内表面上。要求da>db。内齿轮的齿廓为内凹齿；齿根圆大于齿顶圆；齿顶圆大于基圆。作者：潘存云教授pnhNαsehahfpBOrarb2r2O2ω2rb2r2O2

ω2rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1pn2pn2pn2pn1pn1<pn2pn1>pn2pn1=pn2pn1pn1不能正确啮合!不能正确啮合!能正确啮合!一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？m1<m2m1>m2PN1N2B2B1B1PN1N2B2PN1N2B1B2§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动1．一对渐开线齿轮正确啮合的条件m1=m2pn1pn2rb2r2O2rb1r1O1ω1ω2PN1N2B2B1要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：

pn1=pn2将pb=πm

cosα代入得：

m1cosα1=m2cosα2因m和α都取标准值，使上式成立的条件为：m1=m2

，α1=α2结论：一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。传动比：1．一对渐开线齿轮正确啮合的条件pb1=pb2即

对标准齿轮,确定中心距a时,应满足两点要求：1)齿侧间隙为零此时有：

a=ra1+c+rf2=r1+ha*m=r1+r2s'1-e'2=02)顶隙c为标准值c=c*m+c*m+r2-(ha*m+c*m)=m(z1+z2)/2a=r1+r2标准安装中心距2.齿轮传动的中心距及啮合角(1)中心距a作者：潘存云教授rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb1ra1ra1rf2rf2ac重要结论:a'cosα'=acosαarb2O2O1ω1ω2PN1N2rb1r2'=r2r1'=r1r2'>r2r1'>r1a'rb2O2O1ω1ω2PN1N2rb1α'>αr2'>r2r1'>r1α'=α由于N1N2线与节圆公切线之间的夹角为啮合角α',因此有：α'=α标准安装:a=r1'+r2'r1'

=r1r2'=r2非标准安装:两分度圆分离，此时有：a'>a→r'>r基圆不变：rb1＋rb2=(r1'+r2')cosα'→α'>α且：rb1＋rb2=acosα=

a'cosα'3)齿轮的安装节线与分度线重合

r1'=r1

，α'＝α

节线与分度线重合;节线与分度线不重合

O11N1rf1ra1ω1v22注意：■分度圆和压力角是单个齿轮就有的；

■节圆和啮合角是两个齿轮啮合后才出现的。(2)齿轮齿条传动标准安装：

N1N2

线与齿廓垂直，且与基圆相切，故节点位置不变，有：α'=αN2α'=αr1'=r1

α'＝αr1B1B2O11N1rf1ra1ω1r1P非标准安装：N2v22B1B2P重要结论！

N1N2O1rb1Prb2ω2ω1O23.一对轮齿的啮合过程及连续传动条件B1B2:实际啮合线N1、N2:啮合极限点阴影线部分:齿廓的实际工作段。ra2B1:终止啮合点B2:起始啮合点N2ra1B2B1(1)一对轮齿的啮合过程N1N2:理论啮合线段(理论上可能的最长啮合线段)pb为保证连续传动，要求：实际啮合线段B1B2≥pb(齿轮的法向齿距)，定义:ε=B1B2/pb

为一对齿轮的重合度。一对齿轮的连续传动条件是：为保证可靠工作，工程上要求：[ε]的推荐值：使用场合一般机械制造业汽车拖拉机金属切削机床

[ε]1.41.1～1.21.3即:

B1B2/pb≥1ε≥[ε]ε≥1

采用标准齿轮，总是有：ε≥1故不必验算。O1N2N1KO2ω2ω1B1B2(2)连续传动条件N1N2O1rb1rb2O2Pα'αa2(3)重合度的计算=(PB1+PB2)其中：PB1＝B1N1-PN1＝rb1tgαa1＝z1mcosα(tgαa1-tgα')/2PB2＝B2N2-PN2＝rb2tgαa2＝z2mcosα(tgαa2-tgα')/21)外啮合传动-

rb1tgα'α'αa1-rb2tgα'/πmcosα

ra1B1=B1B2/pbαε∴=[z1(tgαa1-tgα'

)+z2(tgαa2-tgα'

)]/2παεB2ra2h*amPN1O12)齿轮齿条传动PB1＝z1mcosα(tgαa1-tgα')/2

PB2＝h*am/sinα代入得：

εα＝[z1(tgαa1-tgα')]/2π+h*a

/πcosαsinαεα＝

B1B2/pb＝(PB1+PB2)/πmcosα

α'α'αa1B1B2N2PO2ra2rb2αa1N1O1ra1rb1εα

＝

B1B2/pb＝(PB1+PB2)/πmcosα

∴εα=[z1(tgαa1-tgα')-z2(tgαa2-tgα')]/2πPB2＝PN2-B2N2＝rb2tgα'＝-z2mcosα(tgαa2-tgα')/23)内啮合传动PB1＝B1N1-PN1α'αa2＜α'＝z1mcosα(tgαa1-tgα')/2εα的物理意义：表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。-

rb2tgαa2α'αa2-rb1tgα'＝rb1tgαa1B1B23rb2rb2单齿啮合区双齿啮合区双齿啮合区第一对齿在B2点进入啮合；当第一对齿从B2运动到B3点时