DSP数字滤波器基本结构

会计学1DSP数字滤波器基本结构三、IIRDF基本结构IIRDF类型有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。1、直接型

1）直接I型

IIRDF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）第1页/共84页

(a)直接I型流图x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1方程看出：y(n)由两部分组成：第一部分是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。第二部分是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。第2页/共84页(b)结构的特点此结构的特点为：(1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。简单直观。(2)共需(N+M)级延时单元。(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第3页/共84页2)、直接II型（正准型/典范型）

（a)直接II型原理

从上面直接型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：（1）交换两个级联网络的次序（2）合并两个具有相同输入的延时支路。得到另一种结构即直接II型。x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第一部分第二部分对调第4页/共84页(b)直接II型的结构流图过程1--对调x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第一部分第二部分对调x(n)y(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bMZ-1Z-1对调第5页/共84页(c)直接II型的结构流图过程2--合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bMZ-1合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bMy(n)y(n)由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。这就是直接II型的结构流图。第6页/共84页(d)直接II型特点直接II型结构特点：(1)两个网络级联。第一个有反馈的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。(2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。(3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bMy(n)第7页/共84页例子已知IIRDF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反馈部分系数符号第8页/共84页作业第9页/共84页直接I型直接II型第10页/共84页2、级联型结构

(1)系统函数因式分解一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：第11页/共84页(2)系统函数系数分析第12页/共84页(3)基本二阶节的级联结构第13页/共84页(4)滤波器的基本二阶节所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：一般用直接II型（正准型、典范型表示）x(n)β1ka2kZ-1Z-1a1kβ2ky(n)第14页/共84页(5)用二阶节级联表示的滤波器系统整个滤波器则是多个二阶节级联x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...从级联结构中看出：a)它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。b)调整β1i,β2i,只单独调整滤波器第i对零点，而不影响其它零点。调整a1i,a2i,……只单独调整滤波器第i对极点，而不影响其它极点。第15页/共84页级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。(b)同一个系统函数H(Z)，分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同，就得到不同的二阶节。实际工作时，由于二进制数的字长有一定限度，因此不同的排列，运算误差就会各不相同。如何才能得到最好的排列，以便运算误差最小，这是最优化问题。(c)级联的各基本节间要有电平的放大或缩小，以使级间输出变量不要太大或太小。级间输出变量大大，易使数字滤波器在运算过程中产生溢出。级间输出变量大小，则输出端的信号噪声比会太小。x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...第16页/共84页例子:设IIR数字滤波器系统函数为：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)第17页/共84页3、并联型

(1)系统函数的部分分式展开将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。第18页/共84页(2)并联型基本二阶节结构并联型的基本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)γ0kβ2kZ-1Z-1β1kγ1ky(n)注意！(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。第19页/共84页(3)基本二阶节的并联结构AN1Z-1a1x(n)aN1β11Z-1Z-1A1γ

11y(n)A0...γ01β21β1N2β2N2γ

0N2γ

1N2其实现结构为：...特点：(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1％，但总系统的误差仍可达到少1％。(因为分成a1,a2…...支路).第20页/共84页（5）例子其并联结构为：x(n)Z-1Z-114y(n)161-61Z-1第21页/共84页作业第22页/共84页本节总结IIRDR的三种结构及其优缺点一、直接型二、级联型三、并联型第23页/共84页一、直接I结构的特点此结构的特点为：(1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。简单直观。(2)共需(N+M)级延时单元。(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第24页/共84页级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。(b)同一个系统函数H(Z)，分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同，就得到不同的二阶节。实际工作时，由于二进制数的字长有一定限度，因此不同的排列，运算误差就会各不相同。如何才能得到最好的排列，以便运算误差最小，这是最优化问题。(c)级联的各基本节间要有电平的放大或缩小，以使级间输出变量不要太大或太小。级间输出变量大大，易使数字滤波器在运算过程中产生溢出。级间输出变量大小，则输出端的信号噪声比会太小。x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...二、级联型第25页/共84页三、并联结构AN1Z-1a1x(n)aN1β11Z-1Z-1A1γ

11y(n)A0...γ01β21β1N2β2N2γ

0N2γ

1N2其实现结构为：...特点：(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1％，但总系统的误差仍可达到少1％。(因为分成a1,a2…...支路).第26页/共84页一、FIRDF的特点(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。第三节FIRDF的结构

（有限长冲激响应滤波器）第27页/共84页二、FIR的系统函数及差分方程长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：第28页/共84页三、FIR滤波器实现基本结构1.FIR的横截型结构（直接型）2.FIR的级联型结构3.FIR的频率抽样型结构1、FIR直接型结构（卷积型、横截型）

(1)流图h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下x(n)h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)第29页/共84页2、级联型结构

（1）流图当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形式：即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)β11Z-1Z-1β21β12Z-1Z-1β22β1N/2Z-1Z-1β2N/2y(n)…...β01β02β0N/211）由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。2）由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。第30页/共84页作业第31页/共84页3、频率抽样型结构

(1)频率抽样型结构的导入若FIRDF的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFT取主值序列N等分抽样单位圆上频响Z变换内插所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：来表示系统函数。第32页/共84页（2）频率抽样型滤波器结构得到FIR滤波器提供另一种结构：频率抽样型结构。它是由两部分级联而成。其中：级联中的第一部分为梳状滤波器：第二部分由N个谐振器组成的谐振柜：第33页/共84页(3)梳状滤波器

(a)零、极点特性它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位圆上有N个等分的零点、无极点。第34页/共84页(b)幅频特性及流图频率响应为：w|H(ejw)|0…...…...幅频曲线：1x(n)y(n)-Z-N梳状滤波器信号流图：第35页/共84页（4）谐振器谐振器：是一个阶网络。Z-1H(k)Hk(z)谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：第36页/共84页(5)谐振柜谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消，从而使这个频率（w=2πk/N)上的频率响应等于H(k).将两部分级联起来，得到频率抽样结构。第37页/共84页（6）频率抽样型结构流图Z-1H(0)Z-1H(1)Z-1H(2)Z-1H(N-1)-Z-Nx(n)y(n)...优点：(1)它的系数H(k)直接就是滤波器在处的频率响应。因此，控制滤波器的频率响应是很直接的。结构有两个主要缺点：(a)所有的相乘系数及H(k)都是复数，应将它们先化成二阶的实数，这样乘起来较复杂，增加乘法次数，存储量。(b)所有谐振器的极点都是在单位园上,由决定。考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。（零点由延时单元决定，不受量化的影响）系统就不稳定了。优点：2）只要h(n)相同长度，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N各一节网络部分结构完全相同，只有各支路增益H（k)不同第38页/共84页（7）修正的频率抽样结构

（a）产生的原因为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位园内某一靠近单位圆、半径为r(r≤1)的园上，同时梳状滤波器的零点也移到r圆上。（即将频率采样由单位圆移到修正半径r的圆上）第39页/共84页(b)修正的频率抽样结构的系统函数为了使系数是实数，可将共轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布。第40页/共84页(c)修正的频率抽样结构的系统极点分布0|z|=rN=8第41页/共84页(d)修正频率结构的复根部分：

第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络因为h(n)是实数，它的DFT也是圆周共轭对称的。因此，可以将第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络。第42页/共84页(e)有限Q的谐振器第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位圆内，而不是在单位圆上，因而从频率响应的几何解释可知，它相当于一个有限Q的谐振器。其谐振频率为：第43页/共84页(f)修正频率抽样结构的谐振器的实根部分除了共轭复根外，还有实根。当N=偶数时，有一对实根，它们分别为两点。当N=奇数时，只有一个实根z=r(k=0），即只有H0(z).r-r第44页/共84页(g)修正频率抽样结构流图（N=偶数）r-rx(n)y(n)...第45页/共84页(h)修正频率抽样结构流图（N=奇数）rx(n)y(n)...第46页/共84页(i)修正频率抽样结构的特点（1）结构有递归型部分谐振柜又有非递归部分--梳状滤波器。（2）它的零、极点数目只取决于单位抽样响应的长度，因而单位冲激响应长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数β0k,β1k,H(0),H(N/2)不同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器（3）其结构可以高度模块化，适用于时分复用。第47页/共84页(j)频率抽样结构的应用范围(1)如果多数频率特性的采样值H(k)为零，例：窄带低通情况下，这时谐振器中剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存储器还是比直接型多用一些。（2）可以共同使用多个并列的滤波器。例：信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时可采用频率采样结构的滤波器，大家共用一个梳状滤波器及谐振柜，只是将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需的滤波器。这样结构具有很大的经济性。（3）常用于窄带滤波，不适于宽带滤波。第48页/共84页4.快速卷积结构

（1）原理设FIRDF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出y(n)=x(n)*h(n),且长度L=N+M-1若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。其中：而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。第49页/共84页（2）快速卷积结构框图L点DFTL点DFTL点IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。第50页/共84页5、线性相位FIR型结构

（1）定义所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。第51页/共84页（2）线性相位FIRDF具有特性h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件：h(n)=±h(N-1-n)其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1-n);下面我们针对h(n)奇、偶进行讨论。第52页/共84页（3）h(n)为偶、奇对称，N=偶数时

(a)FIR的线性相位的特性令n’=N-1-n代入用n=n’应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)第53页/共84页(b)线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-1)…….h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)………….Z-1Z-1Z-1Z-1第54页/共84页（4）h(n)为奇、偶对称，N=奇数时

(a)FIR的线性相位的特性当N=奇数时，有一中间项h((N-1)/2)无法合并，需提出：第55页/共84页(b)线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……,h((N-3)/2)=h((N-1)/2共有（N-3）/2项Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1第56页/共84页（5）总结：h(n)为偶对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性同理，当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:N=奇数时，第57页/共84页（6）h(n)为奇对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性同理，当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:N=奇数时，第58页/共84页总结本章主要的内容1.IIR滤波器实现的基本结构2.FIR滤波器实现的基本结构3.一种特殊的滤波器结构实现形式：格型滤波器结构.第59页/共84页1.IIRDF基本结构IIRDF类型有：直接型直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）级联型并联型第60页/共84页直接I型

直接I型流图IIRDF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1方程看出：y(n)由两部分组成：第一部分是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。第二部分是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。第61页/共84页直接II型的结构流图x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bMy(n)

由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。这就是直接II型的结构流图。第62页/共84页级联型第63页/共84页级联型的基本二阶节所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：一般用直接II型（正准型、典范型表示）x(n)β1ia2iZ-1Z-1a1iβ2iy(n)第64页/共84页级联型二阶节表示的滤波器系统整个滤波器则是多个二阶节级联x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...第65页/共84页并联型将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。第66页/共84页并联型基本二阶节结构并联型的基本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)β0a2Z-1Z-1a1β1y(n)第67页/共84页二、FIR滤波器长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：第68页/共84页FIR滤波器实现基本结构（1）FIR的横截型结构（直接型）（2）FIR的级联型结构（3）FIR的线性型结构（4）FIR的频率抽样型结构（5）FIR的轨迹卷积型结构第69页/共84页1.FIR直接型结构

（卷积型、横截型）h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)第70页/共84页2.级联型结构当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)